Fun O Exponencial

Função exponencial

Esboço do gráfico de uma função exponencial.
Chama-se função exponencial a função tal que em que , . O número é chamado de base da função. A função exponencial pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso a função é decrescente. Definição formal
A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é ,

Esta definição implica as seguintes propriedades:

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:

De fato, a função y = ax é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:
1.
2.
Propriedades da função exponencial

Função exponencial crescente.

Função exponencial decrescente.
A função exponencial de base , , tem as seguintes propriedades:
1. para todo ;
2. é função crescente se, e somente se, ;
3. é função decrescente se, e somente se, ;
4. é injetora;
5. é ilimitada superiormente;
6. é contínua;
7. é sobrejetora;
8. é bijetora, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denotada .
Demonstrações das propriedades
Propriedade 1
Mostraremos, primeiro, que para todo . Com efeito, notamos que . Suponhamos, por contradição, que para algum . Mas, daí temos , uma contradição. Concluímos que para todo .
Como consequência para todo , uma vez que .
Propriedade 2
Sejam . Suponhamos, sem perda de generalidade, que .