Fractais

Série Numérica

Sucessão das somas parciais
Definição

Definição

∞ n=1 Dada uma série,

∞

n=1

ou a1 + a2 + · · · + an + · · ·

ak . k=1 A sucessão (sn )n∈N dada por s1 = a1

ou

∞

a1 + · · · + am +

n

sn = a1 + · · · + an =

Uma série de números reais é uma expressão da forma an an denotamos por sn a sua n-ésima soma parcial,

s2 = a1 + a2

an ,

s3 = a1 + a2 + a3

n=m+1

s3 = a1 + a2 + a3 + a4
.
.
.

onde an é uma sucessão numérica. O termo geral dessa sucessão é o termo geral da série.

designa-se por sucessão das somas parciais de

∞ n=1 an .

13

Natureza e soma de uma série

Série Geométrica

Definição

Definição

Se a sua sucessão de somas parciais sn for convergente e lim sn = s, com s ∈ R, então a série

∞ n=1 Uma série

an diz-se convergente e escrevemos

∞ n=1 an diz-se geométrica se o seu termo geral for o termo

geral de uma progressão geométrica: an = a · rn−1 , onde a, r ∈ R. Por

∞

a1 + · · · + an + · · · = s ou

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outras palavras, uma série geométrica é uma série da forma:

an = s.

∞

n=1

O número s diz-se a soma da série. Caso contrário, a série diz-se

n=1

a · rn−1 = a + ar + ar2 + · · · arn + · · ·

Teorema

divergente.

Seja

∞ n=1 a · rn−1 uma série geométrica. Se a = 0 então a série

converge e a sua soma é 0. Se a = 0 então:
1
2

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a série diverge para |r| ≥ 1; a série converge para |r| < 1 e a sua soma é

a
.
1−r

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Série Harmónica

Teste para a divergência

Definição

Teorema

∞

A série harmónica é a série 1 +

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1
1
+ + ··· + + ··· =
.
23 n n n=1 ∞ n=1 Se

an for convergente então an converge para zero.

Equivalentemente, se o termo geral de uma série não converge

Teorema

para zero então a série diverge.

A série harmónica é divergente. A sucessão sn tem limite +∞.

Observação
O termo geral de uma série pode convergir para zero e a série