exemplos EDOs

EXEMPLOS:
EDO’s NOS CIRCUITOS ELÉTRICOS
Gustav Robert Kirchhorf foi um físico alemão que dedicou-se, principalmente, no campo dos circuitos elétricos. Kirchhorf é autor de duas leis fundamentais da teoria clássica dos circuitos elétricos e da emissão térmica.
As leis de Kirchhorf são empregadas em circuitos elétricos mais complexos como aqueles com mais de uma fonte de resistores, capacitores ou indutores em série ou em paralelo. De acordo com a primeira lei de Kirchhorf, “em qualquer nó, a soma das correntes que o deixam é igual a soma das correntes que chegam até ele”. Esta lei é uma consequência da conservação da carga total existente no circuito. A segunda lei de Kirchhorf mostra que “a soma algébrica das forças eletromotrizes em qualquer malha é igual a soma algébrica das quedas de potencial contidos na malha”.
Circuitos Elétricos de Primeira Ordem
O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evolução da tensão ou corrente no tempo exige a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem da forma

então, x(t) = xp(t) + xc(t) é uma solução para a equação diferencial acima.
O termo xp(t) é chamado de solução particular ou resposta forçada e xc(t) é chamada de solução complementar ou resposta natural.
Considerando que f(t)=A=constante, a solução geral diferencial consiste de duas partes que são obtidas resolvendo as seguintes equações:

Sendo A constante, a solução xp(t) deve também ser constante, portanto xp(t)=k1. Substituindo na equação, tem-se k1=A/a.

que implica em ln xc(t)=-a.t + C.
Logo, xc(t) = k2.e-a.t. Portanto, a solução da equação (1) é

Para comprovação, podemos verificar o circuito RC:

A equação que descreve o circuito para t > 0 é

derivando a equação em t, temos: cuja solução é da forma

que substituindo na equação diferencial de primeira ordem tem-se portanto, a solução da equação é

Circuitos Elétricos de Segunda Ordem
Os circuitos elétricos RLC's são aqueles que possuem resistores, indutores e