Estudante

Cálculo Diferencial e Integral II
Integração e a Integral Definida
Unidade 5
Prof. Pedro Américo Júnior
Bibliografia: Leithold, Louis.
O Cálculo com Geometria Analítica,
Editora Harbra. Capitulo 5.
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Objetivo
• Estudar os tópicos:
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Antidiferenciação
Equações diferenciais com variáveis separáveis
Área de uma região plana, como um novo tipo de limite
Integral definida e suas propriedades
Teoremas Fundamentais do Cálculo
Cálculo de áreas de regiões planas
Métodos numéricos para determinar um valor aproximado de uma integral definida.
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Antidiferenciação
• Operações inversas:
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Adição e subtração
Multiplicação e divisão
Potenciação e radiciação
A operação inversa da diferenciação chama-se antidiferenciação. – A operação inversa da derivada chama-se antiderivada 3

Antidiferenciação
• Definição: Uma função F será chamada de antiderivada de uma função f num intervalo I se
F´(x)=f(x) para todo x em I.
Exemplo: Se F for definida por F(x)=4x3+x2+5, então F´(x)=12x2+2x. Assim, se f for a função definida por f(x)=12x2+2x logo, afirmamos que f é a derivada de F e que F é uma antiderivada de f.
Se G(x)= 4x3+x2-17 então G também será uma antiderivada de f, pois G´(x)= 12x2+2x. Na realidade, toda função cujo valores funcionais são dados por 4x3+x2+C, onde C é uma constante
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qualquer, é uma antiderivada de f.

Antidiferenciação
• Em geral, se uma função F for antiderivada de uma função f num intervalo I e se a função G for definida por
G(x)=F(x)+C onde C é uma constante arbitrária, então
G´(x)=F´(x)=f(x) e G também será uma antiderivada de f no intervalo I.
• Teorema: Se f e g forem duas funções, tais que f´(x)=g´(x) para todo x no intervalo I, então haverá uma constante K, tal que f(x)=g(x)+K para todo x em I.
• Teorema: Se F for uma antiderivada particular de f em um intervalo I, então toda antiderivada de f em I será dada por F(x)+C onde C é uma constante arbitrária e todas as