equação de newton

Em análise numérica, o Método de Newton (ou Método de Newton-Raphson), desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontramos a raiz da função. Em notação matemática, o Método de Newton é representado da seguinte forma:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e f'(xn) é a derivada da função f em xn.

Para que se obtenha sucesso na iteração, devemos respeitar a seguinte condição:

A função f deve ser diferenciável em xn e seu valor deve ser não nulo.

Devemos ter em mente que, mesmo se a condição estabelecida na introdução for satisfeita, o Método de Newton poderá não convergir para a raiz. Seja f(x) uma função e sua derivada diferente de zero, definimos aleatoriamente uma função \phi(x) como 5 6 7 :

\phi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}

Consideramos x* uma aproximação da solução x de f(x)=0 tal que f'(x*)≠0 e |x – x*| seja “pequeno”. Expandimos \phi(x) por Série de Taylor em torno de x* e obtemos:

\phi(x) = \phi(x^*) + (x - x^*)\phi'(x^*) + \frac{(x - x^*)^2}{2}\phi''(x^*) + O((x - x^*)^3)

Para a dedução do Método de Newton, vamos supor que |x - x*| é pequeno, logo, o termo (x - x*)² será muito menor. Com isso, dizemos que:

0 \approx \phi(x^*) + (x - x^*)\phi'(x^*)

Pelo processo iterativo do método do ponto fixo, sabemos que:

\phi(x^*) = x^* - \frac{f(x^*)}{f'(x^*)} = x^*

\phi'(x^*) = 1 - \frac{ f'(x^*) f'(x^*) - f(x^*)f''(x^*) }{(f'(x))^2} = 1 - 1 = 0

\phi''(x^*) = \frac{(f'(x^*)f''(x^*) + f(x^*)f'''(x^*))(f'(x^*))^2 - 2 f(x^*)f''(x^*)f'(x^*)}{(f'(x^*))^4} = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}

Portanto:

\phi(x) = x^*