Equação da reta

Equação da reta

Os estudos em Geometria Analítica demonstram que uma reta possui representação geométrica no plano cartesiano e pode ser representada por uma equação. A equação dessa reta r é obtida através do ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular da reta m. Partindo do teorema de Euclides, com esse princípio estabelecemos que em uma reta os pontos são colineares.
Dada uma reta não-vertical, podemos constituir sua equação com a definição de localização de dois pontos pertencentes à reta r: ponto A(x1,y1), ponto B(x2,y2) e um ponto P(x,y) .˙. P ≠ A.

A equação é:

Essa equação é estabelecida a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados:

Temos, que yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA = c, como a e b não são simultaneamente nulos (A ≠ B), temos:

ax + by + c = 0
(equação geral da reta r) a, b, e c são números reais ; a e b não são nulos simultaneamente.
Como são colineares o determinante de (a,b,c) = 0 , sempre sera nulo na equação da reta.
A terceira coluna é será sempre 1, devido ao teorema da colinearidade, é um determinante que usa o teorema de Thales.

Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

Exemplos:

Considerando a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4), e um ponto P(x, y) , temos:

Verificamos se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então P r.

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2 0

Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.