Equação da reta

A Equação Paramétrica da Reta
Considere um vetor no espaço. Este vetor determina uma direção no espaço, o que significa que existem infinitas retas paralelas no espaço que têm a mesma direção deste vetor. No entanto, dado um ponto no espaço, existe uma única reta passando por este ponto e que tem a mesma direção deste vetor.

Queremos obter uma equação para representar a reta cuja direção é dada pelo vetor v = (a,b,c) (chamado, por este motivo, o vetor direção da reta) e que passa pelo ponto Po (Xo,Yo,Zo). Para isso, observe que um ponto P =(X,Y,Z) pertence à reta r se, e somente se, o vetor PPo é paralelo ao vetor v. Em outras palavras, P pertence a r se e somente se existe um escalar t tal que

As coordenadas do vetor PPo são

Portanto, o ponto P pertence a r se e somente se

ou seja, se e somente se,

Esta é a equação paramétrica da reta r, sendo t o parâmetro .
2. Interpretação Física e Geométrica
Para cada valor do paramêtro t temos um ponto no espaço, e o conjunto desses pontos dá uma reta: c omo existem infinitos valores para t , percorrendo o conjunto dos números reais, conseqüentemente estes infinitos pontos irão formar uma reta (veja a seção Exemplos, a seguir). Em uma interpretação física, podemos enxergar uma reta no espaço como sendo a trajetória de uma partícula em movimento uniforme, ou seja, uma partícula que não está sujeita a nenhuma aceleração. Neste caso, o parâmetro t representa o tempo decorrido desde o instante inicial e o vetor direção nos dá a velocidade da partícula. O módulo do vetor direção é a intensidade da velocidade (em metros por segundo, por exemplo).
A animação abaixo ilustra esse movimento. Perceba que a partícula se move com velocidade constante.

Nesta interpretação física, equações paramétricas distintas, apesar de representarem a mesma reta, tem significados completamente diferentes: elas representam partículas que se movem a partir de pontos iniciais distintos