engenheiro

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA
DISCIPLINA DE ELETROMAGNETISMO APLICADO
3º TRABALHO DE SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL
PROFº JOÃO BATISTA
EQUIPE: EDSON, RENATO E WALBERTO

I – Problema: item b

V0= 10 V, a=1 m, b=2 m
1. Desenvolvimento matemático e solução analítica

I.

Condições iniciais:
V(x,0)=V0sen( x);
V(x,b)=0;
V(0,y)=0;
V(a,y)=0;

II.

Equação adequada nesse caso, pv=0, é de Laplace:
=

III.

= 0;

Usando o método da separação de variáveis:
V(x,y) = X(x)Y(y)
-

=

=

X’’Y+XY’’=0

V(x,0) é não separável;
V(x,b) =0 ⇒ Y(b)=0 ;
V(0,y)=0 ⇒ X(0)=0;
V(a,y)=0 ⇒ X(b)=0;
IV.

Análise dos valores de λ possíveis:
Caso 1: λ=0;
X’’=0 ⇒ X=Ax+B;
X(0)=0 ⇒ B=0;
X(a)=0 ⇒ Ab=0 ⇒ A=0;(a≠0)
Então como X(x)=0(soluçao trivial)⇒ λ≠0;
Caso 2: λ=-α²0;
Caso 3: λ=β²>0;
X’’+β²X=0⇒ X=B1cos(βx)+B2sen(βx);
X(0)=0 ⇒ B1 = 0;
X(a) = 0 ⇒ B2senh(βa)=0 ⇒ Ba=n
Β=

⇒ X(x) = Bnsen(

);

Agora Y(y):
Y’’- ²Y=0⇒ Y=C1cosh(βy)+C2senh(yβ);
Para y=b:
0=C1cosh(βb)+C2senh(βb);
C1=-C2tgh(
Para 0 y b:

)

Y(y) = Cn

;

Logo,
V(x,y)=X(x)Y(y)=Bn Cn sen(

)

Princípio da superposição:
V(x,y)=
Onde D = BnCn;
Utilisando as condições restantes:
V(x,0)= V0sen(

)=

Para n 1 -> D=0, logo n=1 implicando,
D=V0
Então, chega-se a seguinte expressão para o potencial dentro da calha:

V(x,y)=

2. Solução numérica
Aplicando o método das diferenças finitas usando a formula para uma distribuição de carga nula pv=0:
V(i,j)=0.25[v(i+1,j)+ v(i-1,j)+ v(i,j+1)+ v(i,j-1)]

3. Códigos
I. Implementação do potencial analítico em matlab:
% usando métodos de diferenças finitas (iteração)
% problema b
% equipe: Edson, Renato e Walberto
%
%tamanho da grade
[X,Y] = meshgrid(0:0.05:1,0:.05:2);
%valores iniciais de V
V = zeros(size(Y));

%tamanho da calha b = 2; a = 1;
%potencial na parte inferior da calha
V0 = 10*sin(X*pi);
%termos da expressão de V