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Cálculo Numérico A - 2◦ semestre de 2006 Prof. Leonardo F. Guidi 3a Lista de Exercícios - Gabarito

1) Utilize o método de Gauss com pivoteamento parcial para encontrar a solução do seguinte sistema de equações lineares 4x + 4y = 20.5 7x + 6.99y = 34.97 no sistema F (10, 5, −10, 10). Verifique que o sistema possui solução exata que pode ser representada nesse sistema de ponto flutuante e realize as operações de refinamento. R: Inicialmente resolvemos o sistema pelo método de Gauss com pivoteamento parcial. Na representação matricial : 4 4 20.5 34.97 ∼ ∼ = 7 6.99 4 ((−4 7 4 L1 7) ⊗ L1 ) ⊕ L2 6.99 34.97 0.518 , 34.97 20.5 = L1 L2 = L1 ((−0.57142) ⊗ L1 ) ⊕ L2

7 6.99

0 0.0058

na última passagem, realizamos o truncamento para que os resultados pertençam ao sistema F (10, 5, −10, 10). Os passos intermediários são na segunda coluna : −0.57142 ⊗ 6.99 = −3.9942 e finalmente −3.9942 ⊕ 4 = 0.0058. O mesmo para a coluna das constantes, −0.57142 ⊗ 34.97 = −19.982 e finalmente −19.982 ⊕ 20.5 = 0.518. 0.0058 = 89.310 e x = (34.97 (6.99 ⊗ 89.310)) 7 = −84.185. O −84.185 . O resíduo é dado por r0 = b − Ax0 , onde vetor solução (aproximada) é dado por x0 = 89.310 Dessa forma y = 0.518 b= . Devemos lembrar que para garantir a convergência, o resíduo deve sempre ser calculado 34.97 com precisão dupla, ou seja no sistema F (10, 10, −10, 10) e então arredondado para precisão simples, neste caso, F (10, 5, −10, 10): r0 = b − Ax0 = = 20, 5 34, 97 − 20, 5 34, 97 20, 5 34, 9819 = 4 4 ⊗ 0 −0, 0119 . −84, 185 89, 310 20.5

7 6, 99

Podemos refinar a solução através da solução do sistema Aε0 = r0 , pois se a solução x0 difere da solução exata x∗ pelo vetor ε0 , x∗ − x0 = ε0 , então A(x∗ − x0 ) = r0 = Aε0 . A matriz composta do sistema Aε0 = r0 é dada por 4 4 0 −0, 0119 ∼ ∼ 7 6, 99 4 4 L1 ((−0.57142) ⊗ L1 ) ⊕ L2 1 −0, 0119 0 = = L1 L2 7 6, 99 −0, 0119 0, 0068 0 0, 0058 ,

7 6, 99

(lembremos que não é necessário realizar novamente todas as operações para escalonar a matriz de