Engenharia

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciˆncias Exatas e Departamento de Matem´tica a

´ Uma Aplica¸˜o de Algebra Linear ` Engenharia Civil: ca a Projeto de Estrutura Met´lica a
Prof. Ricardo Takahashi – DMAT
Considere o problema do projeto de uma estrutura met´lica como esbo¸ada na Figura 1. Trata-se de um a c guindaste que dever´ i¸ar cargas. O problema consiste em determinar qual ´ o esfor¸o mecˆnico em cada a c e c a viga da estrutura, de modo que se possa escolher as vigas com a resistˆncia adequada. e
F1 F2

1

2

PSfrag replacements 3 4

5

6

Figura 1: Diagrama de estrutura met´lica composta de vigas. a O c´lculo das for¸as que incidem na estrutura, F1 e F2 , ´ imediato, conhecendo-se a massa que ir´ ser a c e a suspensa e o comprimento do bra¸o do guindaste. Com essas for¸as, ´ preciso agora calcular a for¸a exercida c c e c por cada viga nos n´s (pontos de interse¸ao de duas ou mais vigas) para que a estrutura permane¸a em o c˜ c equil´ ıbrio. Essas for¸as ser˜o denotadas pelas vari´veis fij , em que os ´ c a a ındices indicam os n´s ligados por esta o viga. Assim, por exemplo, a for¸a f41 significa a for¸a exercida sobre o n´ 4 pela viga que liga o n´ 4 ao n´ c c o o o 1. A somat´ria das for¸as em cada n´, de 1 a 6, deve ser nula tanto na dire¸ao horizontal quanto na dire¸ao o c o c˜ c˜ vertical. Para montar o conjunto de equa¸oes, tomemos como exemplo o n´ 1. O n´ 1 ´ afetado pelas vigas c˜ o o e que o ligam aos n´s 2, 3 e 4. As equa¸oes que implicam no equil´ o c˜ ıbrio de for¸as sobre o n´ 1 s˜o: c o a f12 cos θ12 + f13 cos θ13 + f14 cos θ14 = F1 (1) f12 sin θ12 + f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0 1

sendo que θij representa o angulo entre a viga (ij) e a vertical. Construindo cada equa¸ao da somat´ria das ˆ c˜ o for¸as em cada um dos n´s, obt´m-se o seguinte conjunto de equa¸oes: c o e c˜ f12 cos θ12 + f13 cos θ13 + f14 cos θ14 = F1 f12 sin θ12 + f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0 f21 cos θ21 + f23 cos θ23 + f24 cos θ24 = F2 f21