Elementos de Álgebra Linear

46

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 6
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função T : V → W é uma transformação linear se:
a) T ( v1 + v 2 ) = T( v1 ) + T( v 2 ) , ∀v1 , v 2 ∈ V
b) T (αv) = αT ( v) , ∀v ∈ V e ∀α ∈ K

3

Exemplo (1): Seja T : ℜ → ℜ

2

definida por T ( x , y, z ) = ( x + z,2 y − z ) . Mostre que T é

uma transformação linear.
3

Solução: a) Sejam v1 = ( x 1 , y1 , z 1 ) e v 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ ℜ . Então:

T ( v1 + v 2 ) = T[( x 1 , y1 , z1 ) + ( x 2 , y 2 , z 2 )] = T( x 1 + x 2 , y1 + y 2 , z1 + z 2 ) ⇒
T ( v1 + v 2 ) = ( x 1 + x 2 + z1 + z 2 , 2( y1 + y 2 ) − (z1 + z 2 )) ⇒
T ( v1 + v 2 ) = ( x 1 + x 2 + z1 + z 2 , 2 y1 + 2 y 2 − z1 − z 2 ) ⇒
T ( v 1 + v 2 ) = ( x 1 + z 1 , 2 y1 − z 1 ) + ( x 2 + z 2 , 2 y 2 − z 2 ) ⇒
T ( v 1 + v 2 ) = T ( x 1 , y1 , z1 ) + T ( x 2 , y 2 , z 2 ) = T ( v 1 ) + T ( v 2 )
3

b) Sejam ∀v = ( x , y, z ) ∈ ℜ e ∀α ∈ ℜ . Então:

T (αv) = T[α ( x , y, z)] = T(αx , αy, αz) = (αx + αz,2αy − αz) ⇒
T (αv) = α ( x + z,2 y − z) = αT ( x , y, z) = αT( v)
OBS: 1) Sejam 0 : V → W a aplicação nula definida por O(v)=0, ∀v∈V e Id : V → W a aplicação identidade definida por Id( v) = v , ∀v∈V. A aplicação nula e a aplicação identidade são transformações lineares. Deixamos a cargo do leitor a demonstração dessas afirmações.
2) Seja T : V → W uma transformação linear. Se V = W, ou seja, T : V → V , então T é chamada de um operador linear.
3) Seja T : V → W uma transformação linear. Então V é chamado de espaço de saída e W é chamado de espaço de chegada da transformação.

47
2

Exemplo (2): Seja T : ℜ → ℜ

3

definida por T ( x , y) = ( x , y,2) . Mostre que T não é uma

transformação linear.
2

Solução: Sejam v1 = ( x 1 , y1 ) e v 2 = ( x 2 , y 2 ) ∈ ℜ . Então:

T ( v1 + v 2 ) = T[( x 1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 )] = T ( x 1 + x 2 , y1 + y 2 ) ⇒
T ( v1 + v 2 ) = ( x 1 + x 2 , y1 + y 2 , 2) = ( x 1 , y1 ,2) + ( x 2 , y 2 ,0)