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EQUAÇOES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
As equações diferenciais de primeira ordem mais simples aparecem sob a forma diretamente integrável. São equações na forma h(y)y'=f(x). Para resolvê-las tratamos provisoriamente as variáveis x e y como sendo ambas independentes. A solução da equação é, exatamente, a descrição da dependência entre x e y. Primeiro reescrevemos como h(y) dy=f(x)dxe em seguida integramos os dois lados da equação ∫h(y)dy=∫f(x)dx. Destas integrações resulta a solução sobre forma implícita ou explícita, sempre envolvendo uma constante de integração.

FORMULA DE FATOR INTEGRAL
Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:

onde é a incógnita e depende da variável , e e são funções dadas.
Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por , obtém-se:

Supomos que M(x) possa ser escrita na seguinte forma:

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

onde é constante. Resolvendo para , temos:

Para encontrar a função M(x), basta observar que, pela regra do produto:

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

O que implica:

EXERCÍCIO CONCEITUAL
Vimos em Cálculo I que calcular a R f(x) dx ´e encontrar uma primitiva F da função dada f, ou seja, ´e determinar uma função F tal que, F 0 = f, isto é, F 0 = f ⇐⇒ Z f(x) dx = F(x) Esta equação foi a primeira equação diferencial que resolvemos e a primitiva F nada mais e que uma solução para esta equação diferencial. Por exemplo, resolver F 0 (x) = cos(x) ´e equivalente a F(x) = Z cos x dx = sen x + c , o que nos mostra que esta equação diferencial tem infinitas soluções. O estudo da existência e unicidade de soluções e um dos aspectos mais interessantes desta teoria.

EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO
Vamos resolver uma equação separável, desta vez acrescentando uma condição de contorno, o que será usada para determinar um valor para a constante de integração. Considere o problema de contorno para a equação diferencial