Integral edo

5. Equações lineares não homogéneas.

Secção 5. Equações lineares não homogéneas.
(Farlow: Sec. 3.6 a 3.8)
Vimos na secção anterior como obter a solução geral de uma EDO linear homogénea. Veremos agora como resolver o problema das equações não homogéneas. O seguinte teorema ser-nos-á extrema mente útil:

Teorema
Solução geral da equação não homogénea

Se yp for uma solução particular qualquer da equação não homogénea: y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = f ( x)

e y1 e y2 forem duas soluções particulares linearmente independentes da equação linear homogénea correspondente y ' '+ p ( x ) y '+ q( x) y = 0 ,

então qualque r solução da equação não homogénea pode ser expressa na forma: y = y h + y p = C1 y1 + C2 y2 + y p .

Para o caso geral de uma EDO não homogénea de ordem n viria: y = y h + y p = C1 y1 + C2 y 2 + C3 y3 + ... + C n y n + y p

É bastante simples demonstrar este teorema. Quer y (a solução geral), quer yp (a solução particular), verificam da EDO não homogénea: y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = f ( x)

y p ' '+ p ( x ) y p '+ q( x) y p = f ( x ) .

Subtraindo uma equação pela outra:
( y − y p )' '+ p ( x )( y − y p )'+ q( x)( y − y p ) = 0 .

Ou seja, (y - yp ) é solução da equação homogénea. Mas vimos na secção anterior que a solução única da equação homogénea é: y h ( x) = C1 y 1 ( x ) + C2 y 2 ( x) . Logo: y − y p = y h ⇒ y = y h + y p = C1 y1 ( x) + C 2 y 2 ( x) + y p , c.q.d.

Podemos agora delinear a estratégica de resolução de uma EDO não homogénea :
1. Encontrar a solução geral da equação homogénea correspondente (yh ):

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5. Equações lineares não homogéneas.

y ' '+ p ( x ) y '+ q( x) y = 0

yh = C1 y1 + C2 y2
2. Encontrar uma solução particular da equação não homogénea (yp ): y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = f ( x)

y p = ...

3. Obter a solução geral da equação não homogénea (y ): y = yh + y p

Mas… e como encontramos a solução particular da equação não homogénea, yp