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Se¸c˜ao 5: Equa¸c˜oes Lineares de 1a Ordem

Defini¸ c˜ ao. Uma EDO de 1a ordem ´e dita linear se for da forma y + f (x) y = g(x) .

(1)

A EDO linear de 1a ordem ´e uma equa¸c˜ao do 1o grau em y e em y . Qualquer dependˆencia mais complicada ´e exclusivamente na vari´avel independente x.
Justificativa para o nome. Consideremos a transforma¸c˜ao que a cada fun¸c˜ao y = y(x) associa uma nova fun¸c˜ao L(y) = y + f (x) y. Por exemplo, dada a EDO linear y + x2 y = ex , consideramos a transforma¸c˜ao y −→ L(y) = y + x2 y .
Temos, L sen x = cos x + x2 sen x . A transforma¸c˜ao y −→ L(y) ´e lnear, isto, ´e,
L(y1 + y2 ) = L(y1 ) + L(y2 )
L(cy) = cL(y)
Assim, uma equa¸c˜ao diferencial linear ´e uma equa¸c˜ao do tipo L(y) = g(x), onde L ´e um operador diferencial linear de 1a ordem.
M´
etodo de Resolu¸ c˜ ao. Uma EDO linear y +f (x) y = g(x) admite sempre um fator integrante dependendo somente da vari´avel x. De fato, temos dy + f (x) y − g(x) = 0 , dx que pode ser reescrita como f (x) y − g(x) dx + dy = 0 .
Multiplicando por µ(x), temos f (x) y − g(x) µ(x) dx + µ(x) dy = 0 .
A condi¸c˜ao necess´aria para que esta u
´ltima equa¸c˜ao seja exata ´e que f (x) y − g(x) µ(x)

y

= µ(x)

x

,

ou seja, f (x) µ(x) = µ (x) .
Separado as vari´aveis, vamos ter dµ = f (x) µ(x) , dx dµ
= f (x) dx µ ,

ln µ(x) =

f (x) dx .

Logo, o fator integrante ´e
R

µ(x) = e

f (x) dx

(2)

Note que multiplicando a EDO (1) pelo fator integrante (2), obtemos
R

e

f (x) dx

R

y + f (x)e

f (x) dx

R

y=e

f (x) dx

g(x) .

(3)

R

Levando em conta que e

f (x) dx

R

=e
R

e

f (x) dx f (x),

f (x) dx

R

=e

y

podemos escrever (3) na forma f (x) dx

g(x) .

Basta agora integrar os dois lados e encontramos a solu¸c˜ao da EDO.
Conclus˜
ao: Multiplicando a EDO linear (1) pelo fator integrante (2), obtemos uma nova equa¸ca
˜o,
cujo lado direito ´e a derivada de um produto.