engenharia

EDO de variáveis separáveis

EDO: 2012 - EDO de primeira ordem
Escrito por Equipe IGM
Ter, 06 de Março de 2012 16:14

Não sabemos resolver todas as Equações Diferenciais Ordinárias mas, existem alguns tipos de EDO de primeira ordem, que podem ser resolvidas analiticamente.

Embora nos dias atuais não há mais necessidade dos engenheiros obter analiticamente estas soluções vamos explicar alguns casos em que existe um método para obter a solução na forma analítica.

Equações de variáveis Separáveis

Se a equação tiver a forma

é chamada por equação de variáveis separáveis. Para resolver este tipo de equação, primeiro observemos que a primitiva da função g(y) pode ser calculada da seguinte forma

esta equação diferencial diferencial pode ser escrita como

a primitiva do lado esquerdo, em relação a variável independente x, é igual a primitiva de g(y), em relação a variável dependente y, como acabamos de ver; assim, temos que

Se conseguirmos calcular as primitivas (integrais) de cada lado da equação, obteremos a solução analítica da equação diferencial.

Exemplo
Vamos procurar de forma analítica as soluções da EDO:

Multiplique ambos os lados por y para obtermos

Integre ambos os lados em relação a x

resolva as integrais, simplificando o resultado e obtenha

Isole a variável y considerando somente a parte positiva y>0, conforme pediu o exercício, ou seja,

que é a solução analítica procurada.

USANDO TECNOLOGIAS

Os métodos mais conhecidos de resolução de EDO de primeira ordem estão implementados neste aplicativo.

A sintaxe de entrada do exemplo resolvido anteriormente é

onde na EDO a variável dependente é y e a variável independente é x.

Como foi visto, o resultado, para y>0 será a função

com uma constante de integração c, que pode ser calculada a partir de uma condição inicial.