Equação Diferencial

Equação Diferencial Ordinária
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma
F(x,y'(x),y"(x),y'''(x), ... ,y(n)(x)) = 0 envolvendo uma função incógnita y=y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais. x é a variável independente e y é a variável dependente.
Exemplos:
1. y"+3y'+6y=sen(x)
2. (y")³+3y'+6y=tan(x)
3. y"+3yy'=exp(x)
4. y'=f(x,y)
5. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Ordem e Grau de uma Equação Diferencial
A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a forma de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo: Ay(3)+By(2)+Cy(1)+Dy(0)=0
Exemplos:
1. y"+3y'+6y=sen(x) tem ordem 2 e grau 1
2. (y")³+3y'+6y=tan(x) tem ordem 2 e grau 3
3. y"+3yy'=exp(x) tem ordem 2 e grau 1
4. y'=f(x,y) tem ordem 1 e grau 1
5. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tem ordem 1 e grau 1

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma: fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x) onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x. CLASSIFICAÇÕES:

Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).
Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes) de coeficientes variáveis (pelo menos um fi variável) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 é uma equação diferencial exata se e somente se

Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3 e Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y e logo Px = Qx e a equação diferencial é exata. TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante .
Ex:
Solução: A equação