Determinantes

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Algebra Linear e Geometria Anal´tica EC ı Lic. Bioqu´mica ı M. Lurdes Teixeira
DMA
UM

1◦ semestre de 2012/2013

Determinantes

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Determinantes
Definicao
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Propriedades elementares
´
Calculo do determinante
Teorema de Laplace
Determinante de uma matriz invert´vel ı ´
Calculo da inversa
Resolucao de sistemas de Cramer
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Aplicacoes
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M. Lurdes Teixeira DMA UM

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Algebra Linear e Geometria Anal´tica EC Lic. Bioqu´mica ı ı

Determinantes
Definicao
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Comecemos por considerar que A =

a1 1 a2 1

a1 2 a2 2

´ e uma matriz 2 × 2.

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Quando e que A tem carater´stica 2? ı a1 1 a2 2 − a1 2 a2 1 = 0
No caso de uma matriz de tipo 3 × 3, A = [ai j ]3×3 , A tem carater´stica 3 ı ´ se e so se a1 1 a2 2 a3 3 + a1 2 a2 3 a3 1 + a1 3 a2 1 a3 2 − a1 2 a2 1 a3 3 − a1 3 a2 2 a3 1 − a1 1 a2 3 a3 2 = 0
No caso de matrizes quadradas de ordem n = 2 ou n = 3, as expres˜
˜
´ soes obtidas sao: um somatorio, com um numero de parcelas igual ao
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´ numero de permutacoes de {1, . . . , n}, cada parcela e o produto de n
¸˜
´ elementos da matriz sendo, simultaneamente, um de cada linha e um
´
de cada coluna. Cada parcela esta afetada do sinal + ou −.

M. Lurdes Teixeira DMA UM

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Algebra Linear e Geometria Anal´tica EC Lic. Bioqu´mica ı ı

Determinantes
Definicao
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Definicao
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Dada uma matriz A = [ai j ]n×n , com n ∈ N, chama-se determinante de A, e representa-se por |A| ou det A, ao numero resultante da soma
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de n! parcelas, uma para cada permutacao de {1, . . . , n}, e em que
¸˜
´ cada parcela e o produto de n elementos da matriz, um de cada linha e, simultaneamente, um de cada coluna, afetada pelo sinal + ou −, conforme a permutacao corres¸˜
´
pondente e par ou ´mpar, ı ou seja, det A = σ sgn(σ )a1 σ(1) a2 σ(2) · · · an σ(n) onde σ representa uma permutacao de {1, . . . , n}, e sgn(σ ) = 1 ou
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´
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ı sgn(σ ) = −1,conforme σ e uma permutacao par ou ´mpar, respetivamente.

M.