Determinantes

4. DETERMINANTES 4.1. Definição e Propriedades

Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação det : M 2×2 ( IR ) → IR a ⎤ a a ⎡a A = ⎢ 11 12 ⎥ → det ( A ) = 11 12 = a11a22 − a21a12 a21 a22 ⎣ a21 a22 ⎦

5⎤ 3 5 ⎡3 Exemplo 1: A = ⎢ ⇒ det ( A) = = 3 × (− 1) − (− 2 ) × 5 = 7 − 2 − 1⎥ − 2 −1 ⎣ ⎦

Definição 2 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 é por

definição a aplicação det : M 3×3 ( IR ) → IR a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ → det ( A ) = ⎥ a33 ⎥ ⎦ a11 a12 a21 a22 a31 a32 a22 a32 a13 a23 = a33 a23 a21 a23 a21 a22 − a12 + a13 = a31 a32 a33 a31 a33

⎡a a ⎢ 11 12 A = ⎢ a21 a22 ⎢ ⎢ a31 a32 ⎣

= + a11

= + a11 det A11 − a12 det A12 + a13 det A13

( )

(

)

( )

onde Aij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
1

2 1 0 1 4 1 4 1 1 Exemplo 2: 1 1 4 = 2 −1 +0 = 2 5 −3 5 −3 2 −3 2 5 = 2(5 − 8 ) − (5 + 12 ) = −23

Definição 3 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é por

definição a aplicação det : M n×n ( IR ) → IR A → det ( A ) = a11 det ( A11 ) − a12 det ( A12 ) + L + ( −1) n +1

a1n det ( A1n )

onde Aij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
Exemplo 3:
0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 = −1 0 1 0 − 1 0 1 1 = −1× 1 − 1× 1 − 1× 0 3 4 2 3 1 2 1 3 4 1 2 3 4 = −(4 − 0 ) − (3 − 2 ) − (0 − 1) = −4 − 1 + 1 = −4

2 0

−1 0

Exercício 2: Calcule

2 1 −1 0 . 0 3 0 1 0 3 −2 0

2

Propriedades dos Determinantes: • Se A é uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma

linha nulas, então det ( A) = 0 .
• Para qualquer matriz quadrada A, temos que det ( A) = det AT . • O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) é

( )

igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
• O determinante da matriz identidade é igual a um. • Se B é uma matriz quadrada obtida de A por meio de troca de duas

linhas (ou duas colunas) entre si, então det (B ) = − det ( A) .
• Se B é a matriz quadrada que