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Geometria Analítica II - Aula 10

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K. Frensel - J. Delgado

Aula 11 Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
Para descrever de modo mais simples algumas curvas e regiões no plano, introduzimos, anteriormente, as coordenadas polares. No espaço, existem dois sistemas de coordenadas que nos fornecem uma maneira mais conveniente de descrever algumas superfícies e sólidos. Seja P = (x, y, z) um ponto do espaço, onde x, y, z são suas coordenadas em relação a um sistema de eixos ortogonais OXYZ. Seja P = (x, y, 0) a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano XY e sejam ρ e θ as coordenadas polares de (x, y).

Fig. 1: Ponto P representado pelas coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z)

Dizemos então que (ρ, θ, z) são as coordenadas cilíndricas do ponto P. Sabemos que ρ = ± x2 + y2 x = ρ cos θ y = ρ sen θ cos θ = ± e sen θ = ± tg θ = y x x x2 + y2 y x2 + y2

Geometria Analítica II - Aula 11

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Nas coordenadas cilíndricas, o cilindro circular de eixo−OZ, S : x2 + y2 = a2 , é dado por: S : ρ 2 = a2 ou seja, S = { (a, θ, z | θ, z ∈ R } . A simplicidade da equação do cilindro, ρ = a, justifica o nome “coordenadas cilíndricas”. −→ − Considere agora r = d(O, P), ϕ o ângulo que o vetor OP faz com o semi-eixo positivo OZ, −→ − ϕ ∈ [0, π], e θ o ângulo que o vetor OP faz como o semi-eixo positivo−OX. ⇐⇒ S : ρ = a,

Fig. 2: Ponto P representado pelas coordenadas esféricas (θ, ϕ, r)

Dizemos que (r, θ, ϕ) são as coordenadas esféricas do ponto P. Como r = d(O, P), temos: z = r cos ϕ Logo, x = ρ cos θ = r sen ϕ cos θ e y = ρ sen θ = r sen ϕ sen θ . Ou seja, se (r, θ, ϕ) são as coordenadas esféricas do ponto P, então as suas coordenadas cartesianas (x, y, z) são dadas por: x = r sen ϕ cos θ y = r sen ϕ sen θ z = r cos ϕ e ρ = d(O, P ) = r sen ϕ .

Observação 1
• Se r < 0, (r, θ, ϕ) corresponde ao ponto (−r, π + θ, π − ϕ), que é o simétrico de (−r, θ, ϕ) com respeito à origem. • Como ρ = r sen ϕ e ϕ ∈ [0, 2π], ρ e r têm sempre o mesmo sinal.

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