Derivadas totais

Derivadas totais

Seja f uma fun¸ao diferenci´vel em (x0 , y0 ). Considere-se z = f (x, y) e designem-se os c˜ a acr´scimos das vari´veis independentes por dx e dy. A derivada total em (x0 , y0 ) da e a vari´vel dependente, z (ou da fun¸˜o f ), ´ a ca e dz(x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy. (1)

Observa¸˜o 1.1 A derivada total dz(x0 , y0 ) depende do ponto (x0 , y0 ) e tamb´m de ca e (dx, dy), por isso, por vezes, diz-se que o n´mero real dado por (1) ´ o derivada da u e vari´vel dependente z no ponto (x0 , y0 ), relativo ao vector u = (dx, dy) e representa-se a por (dz)u (x0 , y0 ). Para dx e dy tais que (x0 +dx, y0 +dy) ∈ B (B ´ uma bola aberta centrada em (x0 , y0 )), e sendo ∆z = f (x0 + dx, y0 + dy) − f (x0 , y0 ), tem-se ∆z − dz = dxε1 (dx, dy) + dyε2 (dx, dy). Ent˜o (ε1 e ε2 tendem para 0 quando (dx, dy) tende para (0, 0)) a derivada total a dz(x0 , y0 ) d´ uma boa aproxima¸˜o para o acr´scimo ∆z, desde que dx e dy sejam a ca e suficientemente pequenos. Assim a no¸˜o da derivada total pode ser usada em probleca mas de aproxima¸˜o. ca Exemplo 1.2 Determine a derivada total de z = f (x, y) = (xy − x2 − 3y 2 ). Sendo z = f (x, y), dz = fx (x, y) · dx + fy (x, y) · dy de (1). Assim, fx (x, y) = 16y − 8x e fy (x, y) = 16x − 24y. Ent˜o dz = (16y − 8x) · dx + (16x − 24y) · dy. a Se tivermos x = g(t) e y = h(t), podemos calcular a derivada total de z em rela¸˜o a t: ca dz dt

= fx (x, y) ·

dx dt

+ fy (x, y) ·

dy , dt

com

dx dt

=

g(t) dt

e

dy dt

=

h(t) . dt

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Aula te´rica de apoio o

Exercicios Propostos 1.3 Determine, caso exista, a derivada total das fun¸˜es seguintes co nos pontos indicados: 1. f (x, y, z) = x2 eyz + y ln z, no ponto (2, 0, 1); 2. f (x, y) = xy 3 x4 +y 6

, no ponto (0, 0);

3. f (x, y) = ln(x2 + y2) + x tan y , no ponto (0, π ). 4