ADministraçao

UNICARIOCA
MATEMÁTICA-II
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

LISTA-06

01- Uma firma estima que o custo total C(x), em reais, para fabricar x unidades de um determinado produto é dado pela
2
equação C ( x ) = 100 + 3 x + x
. Numa semana o rendimento
30
2 total R(X), em reais, é dado por R( x) = 25 x + x em que x é o

250

número de unidades vendidas.
a) Considerando que o número de unidades vendidas numa semana seja o mesmo número de unidades fabricadas, escreva uma equação para o lucro semanal L(x).
b) Obtenha o lucro máximo semanal.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
LISTA_06 - GABARITO

1

MANUEL

EQUAÇÃO PARA O LUCRO SEMANAL L(X)

x2
R ( x) = 25 x +
250

x2
C ( x ) = 100 + 3 x +
30

L(X) = R(X) - C(X) ⇒ LUCRO = RECEITA - CUSTO

x2  x2 
L ( x) = 25 x +
− 100 + 3 x +

250 
30 

x2 x2 L( x) = 25 x +
− 100 − 3 x −
250
30

22 x 2
L( x) = −
+ 22 x − 100
750

EQUAÇÃO DO
LUCRO SEMANAL !

PARA QUEM ESQUECEU COMO OPERAR COM FRAÇÕES !
TEMOS QUE ACHAR INICIALMENTE O MMC ENTRE 250 E 30

x 2 x 2 3 x 2 − 25 x 2 − 22 x 2
−
=
=
250 30
750
750
OLHOU E VIU !

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
LISTA_06 - GABARITO

2

MANUEL

O LUCRO MÁXIMO SEMANAL
2

L( x) = −
L' ( x ) = −

22 x
+ 22 x − 100
750

44 x
+ 22 ⇒ DERIVADA DO LUCRO
750

L’(x) = 0 ⇒ O LUCRO MÁXIMO OCORRE QUANDO A
DERIVADA É IGUAL A ZERO !

−

44 x
+ 22 = 0
750

x=

−

44 x
= −22
750

− 22 × 750
= 375
− 44

x = 375

− 44 x = −22 × 750
Para MAXIMIZAR o LUCRO devemos produzir 375 unidades

O LUCRO MÁXIMO SEMANAL

22 x 2
L( x) = −
+ 22 x − 100
750
x = 375

QUANTIDADE PRODUZIDA QUE FORNECE O LUCRO MÁXIMO

SUBSTITUINDO X POR 375 NA EQUAÇÃO DO LUCRO TEMOS:

22 × 3752
L(375) = −
+ 22 × 375 − 100
750
L(375) = 4.025

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
LISTA_06 - GABARITO

VALOR DO LUCRO MÁXIMO !

3

MANUEL

02-O custo total C da produção de certa encomenda é dado por C ( x) =