Atps de cálculo i

A Derivada

Passo 1
Taxa de variação média de uma função no intervalo de até.
O numerador, , mede a variação nos valores de no intervalo de até . O quociente de diferenças é a variação em dividida pela variação em . Segue na imagem abaixo a visualização da taxa de variação média de .

A Taxa de variação instantânea é chamada de derivada de em e denotada por .
Taxa de variação de em = = coeficiente angular da tangente em . Se o limite existe, dizemos que é diferenciável em . Segue na imagem abaixo a visualização da taxa de variação instantânea de .

Passo 2
Regra da função constante: a derivada de uma função constante é zero.
Se , então ou Regra da função potência:
Se , então ou Passo 3
Interpretando a Derivada através de exemplo:
O valor (em reais) da mão de obra cobrada para construção de uma garagem com metros quadrados de área é dada por uma função . Qual é a interpretação prática de ?

Como é medido em reais e em metros quadrados, só é o valor dividido por uma área, logo, tem de ser medido em reais por metro quadrado. Podemos pensar em como sendo o valor extra para ampliar metros quadrados a mais de garagem. Neste caso será o valor adicional de mão de obra por metro quadrado. Portanto é o valor, por metros quadrados, da mão de obra cobrada na construção da garagem.

Passo 4
Derivada segunda: a derivada de segunda ordem é a derivada da derivada, pode ser representada da seguinte forma ou sendo .
Através da derivada segunda podemos obter a concavidade de uma função:
Se em um intervalo, então é crescente, logo o gráfico de se curva para cima e é convexa no intervalo.

Se em um intervalo, então é decrescente, logo o gráfico de se curva para baixo e é côncava no intervalo.

Exemplo: Analise as funções abaixo e informe onde suas derivadas segundas são positivas e negativas.

a)

b)

c)

Solução:
a) em toda parte, já que o gráfico de é côncavo em toda parte.
b) em toda