Cálculo

Centro Universitário Univates
Disciplina: Cálculo III
Semestre: 2013/B
Professora: Viviane Raquel Backendorf

Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial é uma família de gráficos chamados curvas-solução. Por exemplo, a solução geral da equação diferencial ‫ 0 = ݕ2 − ′ ݕݔ‬é

Soluções de Equações Diferenciais
Solução Geral de uma Equação Diferencial
Já vimos que uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função diferenciável e uma ou mais de suas derivadas. Por exemplo: ‫0 = ݕ2 + ′ ݕ‬

geral (ressalta-se que algumas equações diferenciais admitem soluções que não as dadas por sua solução geral; são as chamadas soluções singulares, que não serão abordadas).

‫ ݔܥ = ݕ‬ଶ .

Solução geral

A Figura1 mostra várias curvas-solução desta equação diferencial.

Equação Diferencial

Da mesma forma, sabemos que uma função ‫ )ݔ(݂ = ݕ‬é solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita quando ‫ ݕ‬e suas derivadas são substituídas por ݂(‫ )ݔ‬e suas derivadas. Por exemplo,
‫ି ݁ = ݕ‬ଶ௫

Solução de uma equação diferencial

é uma solução da equação diferencial dada acima. Da mesma forma,
ଵ

podemos facilmente mostrar que ‫ି ݁2 = ݕ‬ଶ௫ , ‫ି ݁3− = ݕ‬ଶ௫ e ‫ = ݕ‬ଶ ݁ ିଶ௫

Figura 1

são também soluções da equação diferencial. Na verdade, qualquer função da forma
‫ି ݁ܥ = ݕ‬ଶ௫

Solução geral

onde ‫ ܥ‬é um número real, é uma solução da equação. Esta família de soluções é chamada solução geral da equação diferencial.

Soluções Particulares e Condições Iniciais
Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução obtida pela atribuição de valores específicos às constantes na solução

As soluções particulares de uma equação diferencial se obtêm a partir de condições iniciais impostas à função incógnita e às suas derivadas.
Assim é que, na Fig (1), queríamos achar a solução particular cujo gráfico passa pelo ponto (1,3). Esta condição inicial pode ser escrita como: ‫3=ݕ‬

quando