Cálculo

Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. Disciplina: MATA03 – Cálculo B - Profa Graça Dominguez UNIDADE III – LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizada 2012.1

Derivada Direcional e Gradiente 1) Calcule o gradiente das seguintes funções: (1.1) z  2 x 2  5 y 2 (1.3) w  3x 2  y 2  4 z 2 (1.5) w  ln( x 2  y 2  z 2 ) (1.2) z 

1 x2  y2

(1.4) w  cos( xy )  sen( yz ) (1.6) w  e z cos(2 x) cos(3 y)

 2) Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor v .
     (2.1) z  2 x 2  5 y 2 , v   cos( ), sen( )  2 2  

(2.2) z 

1 x2  y2

 , v = (1, 1)

 1 (2.3) z  y 2tg 2 ( x) , v  ( 3,1) 2

  1 2 2 (2.4) w  cos( xy )  sen( yz ) , v    , ,   3 3 3  3 (2.5) w  ln( x 2  y 2  z 2 ) , v  (1,1, 1) 3
2 2 2  (2.6) w  e (1 x  y  z ) , v = (1, 0, 1)

3) Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção e o sentido em que ocorre. (3.1) z  2 x 2  3 y 2 , P(1,-1)
 y (3.2) z  e (2 y ) arctg   , P (1, 3)  3x 

(3.3) w  cos( yz )  sen( xy ) , P (-3, 0, 7)

1

(3.4) w  2 xyz  y 2  z 2 , P (1,1,1) .

4) Suponha que numa certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

V ( x, y, z )  5x 2  3xy  xyz .
(4.1) Determine a taxa de variação do potencial em P(3, 4, 5) na direção do vetor  v  (1,1,1) . (4.2) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? (4.3) Qual a taxa máxima de variação de P? 5) Uma equação da superfície de uma montanha é z = 1200 – 3x2 – 2y2, a distância está em metros, os pontos do eixo x a leste e os pontos do eixo y a norte. Um alpinista está no ponto correspondente a (-10, 5, 850). (5.1) Qual é a direção e o sentido da parte que tem inclinação mais acentuada? (5.2) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta razão? (5.3) Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou descendo, e qual será esta razão?