Cálculo
Derivada Direcional e Gradiente 1) Calcule o gradiente das seguintes funções: (1.1) z 2 x 2 5 y 2 (1.3) w 3x 2 y 2 4 z 2 (1.5) w ln( x 2 y 2 z 2 ) (1.2) z
1 x2 y2
(1.4) w cos( xy ) sen( yz ) (1.6) w e z cos(2 x) cos(3 y)
2) Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor v .
(2.1) z 2 x 2 5 y 2 , v cos( ), sen( ) 2 2
(2.2) z
1 x2 y2
, v = (1, 1)
1 (2.3) z y 2tg 2 ( x) , v ( 3,1) 2
1 2 2 (2.4) w cos( xy ) sen( yz ) , v , , 3 3 3 3 (2.5) w ln( x 2 y 2 z 2 ) , v (1,1, 1) 3
2 2 2 (2.6) w e (1 x y z ) , v = (1, 0, 1)
3) Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção e o sentido em que ocorre. (3.1) z 2 x 2 3 y 2 , P(1,-1)
y (3.2) z e (2 y ) arctg , P (1, 3) 3x
(3.3) w cos( yz ) sen( xy ) , P (-3, 0, 7)
1
(3.4) w 2 xyz y 2 z 2 , P (1,1,1) .
4) Suponha que numa certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
V ( x, y, z ) 5x 2 3xy xyz .
(4.1) Determine a taxa de variação do potencial em P(3, 4, 5) na direção do vetor v (1,1,1) . (4.2) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? (4.3) Qual a taxa máxima de variação de P? 5) Uma equação da superfície de uma montanha é z = 1200 – 3x2 – 2y2, a distância está em metros, os pontos do eixo x a leste e os pontos do eixo y a norte. Um alpinista está no ponto correspondente a (-10, 5, 850). (5.1) Qual é a direção e o sentido da parte que tem inclinação mais acentuada? (5.2) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta razão? (5.3) Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou descendo, e qual será esta razão?