Cálculo II

Aula 8
Regras do Produto e
Quociente. Derivadas de
Funções Polinômiais e
Exponenciais.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas

Regras de Derivação
Se f e g são funções deriváveis e c é uma constante, então valem as seguintes propriedades: d d d [f (x) + g(x)] =
[f (x)] +
[g(x)].
dx dx dx d d d [f (x) − g(x)] =
[f (x)] −
[g(x)].
dx dx dx d d
[cf (x)] = c
[f (x)]. dx dx d d d [f (x)g(x)] =
[f (x)] g(x) + f (x)
[g(x)].
dx dx dx d d
[f (x)] g(x) − f (x) dx [g(x)] d f (x)
= dx
.
dx g(x)
[g(x)]2

Derivadas de Polinômios: d [c] = 0 para qualquer constante c. dx d
[x] = 1. dx Da regra do produto e do quociente, concluímos que: d [x n ] = nx n−1 , para qualquer inteiro n = 0. dx Teorema
A derivada de um polinômio de grau n é: d a0 + a1 x + a2 x 2 . . . + an x n = a1 + 2a2 x + . . . + nan x n−1 dx Derivada da Função Exponencial
Se
f (x) = ax , a > 0, então d
[f (x)] = f (0)ax = f (0)f (x). dx Definição (Número e)
O número e é tal que eh − 1
= 1. h h→0 lim Teorema (Derivada da Função Exponencial) d x
[e ] = ex . dx Exemplos

Exemplo
Encontre a n-ésima derivada de f (x) = xex .

Exemplos

Exemplo
Encontre a n-ésima derivada de f (x) = xex .

Resposta: f (n) (x) = (x + n)ex .

Exemplos

Exemplo
Derive a função f (t) =

√

t(a + bt).

Exemplos

Exemplo
Derive a função f (t) =

√

t(a + bt).

Resposta: f (t) =

a + 3bt
√ . a t

Exemplos

Exemplo
Encontre a derivada de y= x2 + x − 2 x3 + 6

Exemplos

Exemplo
Encontre a derivada de y= x2 + x − 2 x3 + 6

Resposta: y =

−x 4 − 2x 3 + 6x 2 + 12x + 6
.
(x 3 + 6)2

Exemplos

Exemplo
Encontre a reta tangente a curva y= no ponto (1, 1 e).
2

ex
1 + x2

Exemplos

Exemplo
Encontre a reta tangente a curva