Cálculo do volume por rotação

Introdução
Volume
Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos verificar que muito poucas têm formas regulares, dificilmente poderíamos encontrar o volume de um corpo sólido encontrado comumente na natureza por meio da geometria euclidiana, as curvas são comuns no nosso mundo, muitas delas podem ser determinadas por equações, porém antes que a teoria do Cálculo fosse elaborada os volumes eram calculados por aproximações. Hoje podemos obter muitos dos volumes de corpos sinuosos pelo Cálculo, os métodos descritos a seguir são os mais básicos para curvas que podem ser determinadas matematicamente.
Cálculo do volume
Curvas rotacionadas
Imaginemos que tenhamos uma curva matematicamente determinável, uma parábola, por exemplo, e tenhamos a área delimitada pela mesma e o eixo x, se fizermos com que o eixo y servisse de mastro e girassemos a parábola em torno do mesmo, o que teríamos? Teríamos um sólido formado pelas infinitas lâminas em forma de parábola. O efeito da rotação de uma parabola pode ser visualizada pelo gráfico tridimensional, o que vemos é o que chamados de parabolóide, um sólido semelhante ao recipiente de líquido de uma taça. Considerando a parte interna preenchida teremos um volume a ser calculado, o que podemos fazer utilizando o "Cálculo". | Parabolóide |

O efeito da rotação de uma elipse pode ser visualizada da mesma forma, o que nos possibilita ver o que chamados de elipsóide, um sólido semelhante a um ovo de réptil. O volume a ser calculado também pode ser conseguido através do "Cálculo". | Elipsóide |

Sólidos delimitados por uma curva
O método para cálculo de volumes delimitados por curvas rotacionadas, como expostas acima, consiste na divisão do sólido em discos com raio igual ao valor da função que está sendo rotacionada, ou seja, para cada ponto da função teremos um disco de raio determinado pela mesma, o que nos permite fazer uma somatória de discos que acompanham o contorno da curva, vejamos o desenho