aula

Cálculo 2
Cálculo de volumes

Sólidos de Revolução
Introdução:
Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r. a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos

como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).

Volume de Sólidos

Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal. Volume de Sólidos
Exemplo 1:

Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide – é 1 b 2 h.
3
Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:
Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)2.
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí
2x

Volume de Sólidos
Exemplo 1: e daí

A( y)  (2 x) 2  4 x 2

Logo, o volume da pirâmide é dado por:

Volume de Sólidos
Exemplo 2:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h.
Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:
Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é r2. h Logo, o volume do cilindro é dado por:

Sólidos de Revolução
Exemplo 3: Considere a região delimitada por
, o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é
.

O volume da esfera gerada é:

Sólidos de Revolução
Exemplo 3:

Volume de Sólidos
Exemplo 4:
Usando o