Conjunto

Diagonalização de Cantor

Cantor em 1974 propôs uma teoria que iria revolucionar o pensamento sobre o conteúdos dos conjuntos. De forma intuitiva ele definiu que os números naturais seriam infinitos e poderiam ser enumeráveis, tais como os conjuntos dos inteiros e racionais. Posteriormente atribuiu que os números irracionais transcendentais¹, era conjunto de números não enumeráveis, pois sua ordem de infinito ultrapassa a dos números racionais e algébricos, assim os irracionais são não enumeráveis.
Em relação aos números racionais, afirmava-se que existia tantos quanto os números inteiros, para demonstrar tal que tal fato ocorria Cantor utilizou um argumento/método que passou a ser nomeado como ‘diagonalização de Cantor da enumerabilidade dos racionais’. O primeiro passo para esta prova foi a combinação dos números racionais em uma matriz bidimensional, como a mostrada a seguir:

Fonte:ACZEL, Amir D.. O mistério do alef: a matemática, a Cabala e a procura do infinito.
A sequência contém uma correspondência biunívoca² dos racionais com todos os naturais por posição. Assim 1/1 é associando com 1; 2/1 é associado como 2; ½ com o 3; 5/3 com o 26; assim por diante. Para entender melhor veja a sequência em naturais abaixo: .

Fonte do autor.
Os números racionais são comprimidos e mais densos que os inteiros, ocasionalmente o fato de podermos encontrá-los fazendo vizinhança infinitesimal entre dois inteiros. Depois de um determinado tempo de estudo entre Cantor e Dedekind, através de correspondência, sobre a estrutura infinitamente rica dos irracionais, estabeleceu através da diagonalização que cada número terá uma única representação decimal infinita. Por volta de 1873, descobriu que os números transcendentais seriam de uma ordem infinita tão alta que não poderiam ser enumerados.
Para provar que os números transcendentais são