Conjuntos

TEORIA DOS CONJUNTOS

Desenvolvida, formalmente, a partir do século XIX pelo matemático Georg Cantor (nascido em
São Petersburgo, Rússia, em 1845).
Em Matemática, qualquer Teoria é formulada com conceitos e proposições.
Conceitos:
Conceitos primitivos: não são definidos. Exemplos: conjunto, elemento de um conjunto.
Definições: Exemplo: B é subconjunto de A, se e somente se, todo elemento de B é elemento de A.

Proposições:
Postulados (axiomas): aceitos sem demonstração. Exemplo: existe um conjunto denotado por
 , que não possui elemento algum.
Teorema: possui demonstração, “se p (hipótese) então q (tese)”. Exemplo: Se
A  B  , então B  AC .

Definições:

A  B =  x : x  A  x  B
A  B = x: x  A  x  B
A  B =  x : x  A  x  B
Se B  A, então CAB  A  B (CAB : Complementar de B em relação a A).
Observações:

1) B  U (U : Conjunto Universo), B  BC  U  B
(B  BC : chamamos de complementar de B em relação a U ou simplesmente de complementar de B).
2) A  B (ou B  A)   a  A  a  B 
A  B  x  U : x  A  x  B.
3)   A (o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto,   !).
4) A e B são disjuntos  A  B  .

Conjunto das Partes de um Conjunto:
Dado um conjunto X , chama-se conjunto das partes de X ( P  X  ), aquele que é formado por todos os subconjuntos de X .

P  X   Y : Y  X 

Número de Elementos das Partes de um Conjunto:
Dado um conjunto finito que possui n elementos, demonstra-se que o número de elementos de P  X  , ou seja, número de subconjuntos de X é igual a 2n .

n  P  X 

 2n , onde n é o número de elementos do conjunto X .

número de elementos de P X 

Número de Elementos de um Conjunto:

n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B). (Princípio da Inclusão-Exclusão) n( A  B)  n( A)  n( A  B), B  A  n( A  B)  n( A)  n( B).
Propriedades:

A  A

A  ( B  C )  ( A  B)  C (associativa)

A  B  B  A (comutativa)

A A  A

A B  B