Conicas

CAP 22 & 23 – CÔNICAS

ELIPSE
Origem
Vamos considerar um cone. Utilizando um plano inclinado em relação ao eixo e que intersecte todas as geratrizes do cone, faremos um corte como mostra o desenho seguinte: Nesse caso, a secção cônica obtida é chamada elipse.
Definição
Dados dois pontos F1 e F2, pertencentes a um plano α, seja 2c a distância entre eles.
Elipse é o conjunto dos pontos de α cuja soma das distâncias a F1 e F2 é constante 2a.
Elipse = {P ∈ α PF1 + PF2 = 2a}

Assim, temos:
QF1 + QF2 = 2a
RF1 + RF2 = 2a
SF1 + SF2 = 2a
A1F1 + A1F2 = 2a
A2F1 + A2F2 = 2a
B2F1 + B2F2 = 2a
Notemos também que A1A2 = 2a

Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1

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Elementos principais
F1 e F2 focos
O centro
A1A2 eixo maior
B1B2 eixo menor
2c distância focal
2a medida do eixo maior
2b medida do eixo menor c excentricidade a Relação notável: a 2 = b 2 + c 2
OBS: Área de uma elipse

S = π ⋅a ⋅b

Equação reduzida da elipse de centro na origem e focos pertencentes ao eixo das abscissas Tomemos um sistema cartesiano ortogonal tal que:
A1A2 ⊂ x e B1B2 ⊂ y
É evidente que os focos são os pontos:
F1(-c, 0) e F2(c, 0)

Nestas condições, chama-se equação reduzida da elipse a equação que P(x, y), ponto genérico da curva, verifica. A dedução é imediata: P ∈ elipse ⇔ PF1 + PF2 = 2a, então:

( x + c )2 + ( y − 0 )2

+

( x − c )2 + ( y − 0 )2

= 2a

Desenvolvendo, temos:

x2 y2 + 2
=1
a2 a − c2
Como a 2 = b 2 + c 2 , temos:

x2 y2
+
=1 a2 b2

Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1

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Equação reduzida da elipse de centro na origem e focos pertencentes ao eixo das ordenadas Analogamente ao que vimos se a elipse apresenta:
A1A2 ⊂ y e B1B2 ⊂ x
Temos:
PF1 + PF2 = 2a

( x − 0 )2 + ( y + c )2

+

( x − 0 )2 + ( y − c )2

= 2a

Desenvolvendo, temos: y2 x2
+
=1 a2 b2

Equação reduzida da elipse de centro no ponto O’(xo, yo) e focos pertencentes a uma reta