Combinatoria

ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

Princípio fundamental da contagem Se uma tarefa tem k etapas, e cada etapa pode ser feita de ni maneiras diferentes, então o número total de alternativas é

Permutação Considere n objetos diferentes. De quantas maneiras podemos dispor (permutar) esses objetos?
Exemplo: Objetos a, b, c. Permutações: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Para n objetos, o número de permutações é:

Arranjo Considere n objetos diferentes. De quantas maneiras podemos escolher k (k ≤ n) desses objetos? Se a ordem de escolha é importante, temos um arranjo de n objetos, tomados k a k.
Exemplo: Arranjo de 3 objetos (a, b, c), tomados 2 a 2 (n = 3 e k = 2): ab, ac, ba, bc, ca, cb.
Número de arranjos de n objetos, tomados k a k:
A(n, k) = n(n-1)...(n-k+1) ou

Combinação Considere n objetos diferentes. De quantas maneiras podemos escolher k (k ≤ n) desses objetos? Se a ordem de escolha não é importante, temos uma combinação de n objetos, tomados k a k.
Exemplo: Combinação de 3 objetos (a, b, c), tomados 2 a 2 (n = 3 e k = 2): ab, ac, bc.

Número de combinações de n objetos, tomados k a k:

Exercícios

1) Com as letras a, b, c, d, e, f quantos códigos de quatro letras poderão ser construídos se:
a) nenhuma letra puder ser repetida?
b) qualquer letra puder ser repetida qualquer número de vezes?

2) Uma urna contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra, sem reposição. Qual é a probabilidade de sair a palavra ARARAS?

3) Ao retirar quatro cartas, ao acaso e sem reposição, de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de se obter uma quadra (quatro cartas de mesmo número, uma de cada naipe)?

4) Qual é a probabilidade de sair três caras e duas coroas em cinco lançamentos de uma moeda?

5) Seja um lote com 20 peças, sendo 5 defeituosas. Escolha, aleatoriamente, 4 peças do lote (uma amostra aleatória de quatro peças). Qual é a probabilidade de se obter, exatamente, duas defeituosas na