Circuitos de primeira e segunda ordem

CIRCUITOS ELÉTRICOS
CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM
CIRCUITOS RL E RC
O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evolução da tensão ou corrente no tempo, exige a resolução de uma equação diferencial de 1a ordem da forma. dx( t )
+ a.x (t ) = f ( t )
(1)
dt então x (t ) = x p (t ) + x c (t ) é uma solução para equação diferencial acima.
O termo x p (t ) é chamado de solução particular ou resposta forçada, e x c (t ) é chamada de solução complementar ou resposta natural.
Considerando que f(t) = A = constante, a solução geral diferencial consiste de duas partes que são obtidas resolvendo-se as seguintes equações. dx p (t ) dxc (t )
+ a.x p (t ) = A
(2)
e
+ a.xc (t ) = 0
(3)
dt dt Sendo A constante, a solução x p (t ) deve também ser constante, portanto
A
x p ( t ) = K 1 . Substituindo esta constante na equação (2), tem-se K1 = . a Examinando a equação (3). dx c ( t ) dt = −a → d [ln x (t )] = −a que implica em ln x (t ) = − a.t + C . c c x c (t ) dt Logo x c ( t ) = K 2 .e − a.t .
A
Portanto a solução da equação (1) é x (t ) = x p (t ) + x c ( t ) = + K 2 .e − a.t a 1
A constante = Tc é chamada de constante de tempo do circuito. a Uma propriedade interessante da função exponencial é mostrada na figura 1.
A cada constante de tempo Tc , o valor sofre uma queda de 63,2% do valor inicial.
Figura 1
Para efeitos práticos a resposta do circuito atinge o valor de regime permanente em 5 constante de tempo (>5Tc ).
C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM
2
Para comprovação, estudaremos dois circuitos específicos e em função destes iremos delinear um método para manipular esses circuitos em geral.
Considere o circuito mostrado na figura 2. No instante t = 0, a chave é fechada. Figura 2
A equação que descreve o circuito para t > 0 é
1
i (t ).dt + R.i ( t ) = Vs
C∫
Derivando a equação em t, temos: t − i (t ) di (t ) di (t )
1
+R
= 0 ou
+
i (t ) = 0 cuja solução é da forma i (t ) = K