Campos conservativos

CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO
Ricardo Bianconi
Primeiro Semestre de 2008
Resumo
Relacionamos os conceitos de campos irrotacionais, campos conservativos e forma do dom´ınio de defini¸c˜ao desses campos no plano. Em particular, estudaremos os obst´aculos para que um campo irrotacional seja conservativo.

1

Introdu¸ c˜ ao

Para os fins deste texto, todos os campos vetoriais ser˜ao presumidos de classe C 1 , ou seja, as derivadas parciais de primeira ordem de suas fun¸c˜oes coordenadas ser˜ ao assumidas cont´ınuas. Vamos restringir este texto a campos definidos em regi˜ oes do plano, pois as contas ficam mais simples e os conceitos mais f´ aceis de serem visualizados.
Lembramos que um campo vetorial F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j ´e conservativo na regi˜ ao D ⊆ R2 se, para toda curva γ : [a, b] → D, de classe
1
1
C por partes , temos que a integral de linha γ f dr s´o depende do ponto inicial γ(a) e final γ(b) da curva, sendo i = (1, 0) e j = (0, 1) os vetores que formam a base canˆ onica de R2 .
Isto equivale a γ F dr = 0, para toda curva simples e fechada2 γ :
[a, b] → D, e tamb´em ´e equivalente `a existˆencia de uma fun¸c˜ao (que ser´a for¸cosamente de classe C 2 e que ´e chamada de potencial de F) f : D → R, tal que F = ∇f (o gradiente de f ).
1

Isto ´e, podemos dividir o intervalo [a, b] em subintervalos [xi , xi+1 ], de modo que γ ´e de classe C 1 em seu interior ]xi , xi+1 [ e existem os limites γ(xi + ) = lim γ(t) e γ(xi+1 − ) = t→xi +

lim

t→xi+1 −

para todo i.
2
Ou seja, γ(a) = γ(b) e γ(t0 ) = γ(t1 ), se a < t0 < t1 ≤ b.

1

γ(t),

Ricardo Bianconi - Campos Conservativos

2

Lembramos tamb´em que o campo F ´e irrotacional se, para todo (x, y) ∈
D,
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y) = 0,
∂x
∂y ou seja, considerando a extens˜ao natural de F a um campo em R3 , o seu rotacional deve anular-se (veja o texto sobre o rotacional).
Se F = ∇f , com f de classe C 2 , ent˜ao rot F = rot ∇f = 0. Assim, todo campo conservativo ´e irrotacional, mas nem todo campo irrotacional ´e