mecanica

UCS - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – PERÍODO 2014-2
MAT0361 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III – PROFA. ADRIANA M. ADAMI
ADAPTADO DO MATERIAL DAS PROFAS. ELIANA SOARES E LUCIANA SOMAVILLA
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Até agora descrevemos as curvas planas dando y como uma função de x ou fornecendo uma relação entre x e y que define y implicitamente como uma função de x. Nesta seção veremos uma forma diferente de descrever curvas.

1. PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS NO PLANO E NO ESPAÇO
Uma curva no plano é um conjunto de pontos ou pares ordenados relacionados por meio de uma função. Assim, uma curva C no plano é um conjunto de pontos que pode ser assim representado: C = {(x, y); y = f(x)}

ou

{(x, f(x)), x  ℝ}

Analogamente, uma curva no espaço é um conjunto de pontos ou ternas ordenadas relacionadas por meio de uma função. Assim, uma curva C no espaço é um conjunto que pode ser assim representado:
C = {(x, y, z); z = f(x, y)}

ou

{( x, y, f(x, y), (x, y)  ℝ2 }

Muitas vezes, em situações de aplicações, uma curva pode representar o movimento de uma partícula no plano ou no espaço. Nesse caso, é necessário representar as coordenadas da curva em função de um parâmetro. Ou seja, as coordenadas x, y, z são representadas por meio de funções x(t), y(t) e z(t) (no caso de curvas no espaço), onde a variável t é denominada parâmetro.
Essa representação é chamada de representação paramétrica da curva, que também pode ser chamada de caminho.
Quando t varia, o ponto (x, y) = (x(t), y(t)) (ou o ponto (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)) no espaço) varia e traça a curva C que chamamos curva parametrizada. O parâmetro t não representa o tempo necessariamente e poderíamos usar outra letra para o parâmetro. Porém, em muitas aplicações das curvas parametrizadas, t denota o tempo.
De forma geral:


Uma curva no plano com equações paramétricas x = f(t) ,



y = g(t),

a ≤ t