promocoes

Campos vectoriais
Lu´ıs Descalc¸o
Universidade de Aveiro

Campos vectoriais – p. 1/14

Campo vectoriais no plano
Um campo vectorial no plano é uma função F : D ⊆ R2 → R2
Podemos pensar que fixa um vector em cada ponto de D.
F (x, y) = xˆı + yˆ

1 y 0.5

–1

–0.5

0.5 x

1

–0.5
–1

Campos vectoriais – p. 2/14

Campo vectoriais no plano
Um campo vectorial no plano é uma função F : D ⊆ R2 → R2
Podemos pensar que fixa um vector em cada ponto de D.
F (x, y) = xˆı + yˆ

1 y 0.5

–1

–0.5

0.5 x

1

0.5 x

1

–0.5
–1

F (x, y) = −yˆı + xˆ

1 y 0.5

–1

–0.5
–0.5
–1

Campos vectoriais – p. 2/14

Curvas coordenadas do sistema polar φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) = (x, y) = x ˆı + y ˆ

Campos vectoriais – p. 3/14

Curvas coordenadas do sistema polar φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) = (x, y) = x ˆı + y ˆ
Seja p = (x0 , y0 ) = (r0 cos θ0 , r0 sin θ0 ) um ponto do plano

Campos vectoriais – p. 3/14

Curvas coordenadas do sistema polar φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) = (x, y) = x ˆı + y ˆ
Seja p = (x0 , y0 ) = (r0 cos θ0 , r0 sin θ0 ) um ponto do plano
Curvas coordenadas cartesianas y y = y0

p

x = x0

x

Campos vectoriais – p. 3/14

Curvas coordenadas do sistema polar φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) = (x, y) = x ˆı + y ˆ
Seja p = (x0 , y0 ) = (r0 cos θ0 , r0 sin θ0 ) um ponto do plano
Curvas coordenadas cartesianas y y = y0

p

x = x0

x

Curvas coordenadas polares y r=

r0

p

q=

q0

x

Campos vectoriais – p. 3/14

Direcções radial e tangente
∂φ
∂φ
(r, θ) = cos θ ˆı + sin θ ˆ;
(r, θ) = −r sin θ ˆı + r cos θ ˆ
∂r
∂θ

Campos vectoriais – p. 4/14

Direcções radial e tangente
∂φ
∂φ
(r, θ) = cos θ ˆı + sin θ ˆ;
(r, θ) = −r sin θ ˆı + r cos θ ˆ
∂r
∂θ



 eˆr = cos θ ˆı + sin θ ˆ = √

1
(x
x2 +y 2

ˆı + y ˆ)

1
(−y
2
2
x +y


 eˆθ = − sin θ ˆı + cos θ ˆ = √

ˆı + x ˆ)

Campos vectoriais – p. 4/14