Integral Curvilinea

INTEGRAL CURVILÍNEA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL

Consideremos uma curva C: x = x (t) , y = y (t), a  t  b, em uma região onde está definido um campo de forças . Queremos determinar o trabalho realizado para deslocar uma partícula ao longo de C, sob a ação de .

Aproximando a curva C pela poligonal orientada {P0, P1, ..., Pn} e considerando que em cada segmento orientado Pi – 1Pi a força é constante igual a , onde Qi = (ui,vi) é um ponto do arco Pi – 1Pi, temos que o trabalho realizado por , para levar uma partícula de Pi – 1 a Pi, é o produto escalar dos vetores Pi – 1Pi = (x (ti) – x (t i – 1), y (ti) – y (t i – 1 )) = ( ) e = ( M (ui,vi), N (ui,vi)).
Isto é: wi = Pi – 1Pi  = M (ui,vi)xi + N (ui,vi)y

Assim, o trabalho w pode ser aproximado por e é definido por:
.

Usando a integral de Riemann, podemos calcular o trabalho pela integral curvilínea:

Analogamente, para C e em IR3, temos:

Exemplo 1.
Determine o trabalho realizado quando o ponto de aplicação move-se ao longo do eixo x, de A(1,0,0) a B(2,0,0), sob a ação da força .
Solução:

Exemplo 2.
Determine o trabalho realizado quando uma partícula move-se ao longo da curva C, sob a ação da força , sendo:
a) C é a poligonal {(0,0), (1,0), (1,3)};
b) C é a poligonal {(0,0), (0,3), (1,3)};
c) C é o segmento {(0,0), (1,3)};
d) C é a parábola y = 3x2, de (0,0) a (1,3).

Solução:

Exemplo 3.
Determine o trabalho realizado quando uma partícula move-se ao longo da curva C, sob a ação da força , sendo:
e) C é a poligonal {(0,0), (2,0), (2,8)};
f) C é a poligonal {(0,0), (0,8), (2,8)};
g) C é o segmento {(0,0), (2,8)};
h) C é a parábola y = x2 + 2x, de (0,0) a (2,8).

Solução:

TEOREMA DA INDEPENDÊNCIA DO CAMINHO

Região conexa:dois pontos quaisquer da