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Campo Vetorial
Definição: Seja D um conjunto em  2 (uma região plana). Um campo vetorial sobre

 2 é uma função F que associa a cada ponto  x, y  em D um vetor bidimensional
F  x, y 
F  x, y   P  x, y i  Q  x, y  j  P  x, y , Q x , y 

Ou simplificando F  Pi  Qj Podemos definir também um campo vetorial em 3 : Definição: Seja E um subconjunto do 3 . Um campo vetorial sobre 3 é uma função F que associa a cada ponto  x, y, z  em E um vetor tridimensional F  x, y, z 
F  x, y , z   P  x, y , z i  Q  x, y , z  j  R x , y , z   P  x, y , z , Q x , y , z , R  x, y , z 

Ou simplificando F  Pi  Qj  Rk

Uma f  x, y   z é chamada campo escalar para distinguir de campo vetorial. Representação gráfica: o campo vetorial F  x, y  é representado em  2 , enquanto que o campo escalar f  x, y  é representado em 3 . Continuidade: F é contínua se e somente se suas funções componentes P, Q e R são contínuas.

Campo Gradiente
Se f é uma função escalar de duas variáveis, sabemos que seu gradiente é definido por:
f  x, y   f x  x, y i  f y  x, y  j

Assim temos que de fato, o gradiente de uma função escalar é um campo vetorial. Exercício: Determine o campo gradiente das funções. a) f  x, y   ln  x  2 y  b) f  x, y , z   x 2  y 2  z 2

Campo Conservativo
Seja F  Pi  Qj um campo vetorial sobre uma região D aberta e simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciais de 1ª ordem contínuas e que

P Q  por toda a região D y x então F é conservativo F é conservativo se existe uma função f  x, y  tal que F seja o gradiente desta função. Exercício: Determine se F é ou não conservativo a) F x, y    x  y i  x  2 j b) F  x, y   3  2 xy i  x 2  3 y 2 j





Rotacional
Se F  Pi  Qj  Rk é um campo vetorial sobre 3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, então

 R Q   P R   Q P  rot F    y  z i   z  x  j   x  y k