Calculo

Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos (1) | a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos tornar um problema de integração mais simples.
Na prática, é usual reescrever (1) fazendo u=f(x), du=f '(x)dx
,
Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1): (2) | Exemplo Calcule
Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma

Uma maneira de fazer isso é colocar

para que,

Deste modo,a partir de(2)

Integração por Partes para Integrais Definidas
Para integrais definidas, a fórmula correspondente a (2) é: |
Exemplo
Calcule
Solução. Seja

Assim,

Mas

logo

Fórmulas de Redução
A integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução para integrais. Estas fórmulas expressam uma integral com potência de função em termos de uma integral que envolve uma potência mais baixa daquela função. Por exemplo, se n for um inteiro positivo e n 2, então a integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução.
(2)
Para ilustrar como essas fórmulas são obtidas,vamos deduzir a fórmula (2).

para que

Transpondo o último termo para o lado esquerdo obtém-se

da qual tem-se(2). Exemplo
Calcule
Solução. A partir de (2),com n=4

INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
Integração de Potências de Seno e Co-seno
Na seção fórmulas de redução,obtivemos as fórmulas

No caso onde n=2,estas fórmulas ficam Podem-se obter formas alternativas para estas fórmulas de integração usando as identidades trigonométricas. que provêm das fórmulas para o ângulo duplo

Essas identidades dão lugar a

Integração de produtos de senos e co-senos
Se m e n são inteiros positivos,então a integral

pode ser calculada de diversas maneiras,dependendo de m e n serem pares ou