calculo

CMC-301-3 – Funções da Física Matemática – Aula 09
Aula 09: Funções Harmônicas Esféricas: Harmônicos Esféricos Sólidos. Funções
Gama e Beta.

Funções Harmônicas Esféricas
O método de separação de variáveis no sistema de coordenadas esféricas para a equação de Laplace, utilizado na Aula 08, conduziu às seguintes equações diferenciais ordinárias d 2Φ
+ m 2Φ = 0
2
dφ

(97)

dΘ   2
1 d  m2 
Θ = 0.
 senθ
 +  n − dθ   senθ dθ  sen 2θ 

(98)

e

As equações (97) e (98) descrevem a dependência em relação aos ângulos de azimute e polar, φ e θ , respectivamente. Os valores característicos de (97), m 2 , são discretos (m = 0,1,), e as funções características podem ser definidas como segue.
Para m = 0,
~
Φ 0 (φ ) = 1,

e para m ≠ 0
 cosmφ ,
~
Φ m (φ ) = ou
 senmφ .

Estas funções são ortogonais entre si e suas integrais de normalização são π ~
∫ [Φ (φ )] dφ = 2π ,
2

0

2

0

∫

2π

0

2π

cos 2 mφdφ = ∫ sen 2 mφdφ = π .
0

É conveniente que estas funções características sejam normalizadas de modo a terem a norma 1, multiplicando-as convenientemente de forma que as integrais de normalização sejam iguais à unidade. Esta condição define as funções normalizadas
Φ 0 (φ ) =

1
2π

(m = 0),

63

CMC-301-3 – Funções da Física Matemática – Aula 09

cosmφ 

π

1 senmφ 
Φ (m− ) (φ ) =

π

Φ (m+ ) (φ ) =

1

(m ≠ 0),

onde os símbolos (+) e (-) é para lembrar que as funções são pares ou ímpares em relação à variável φ . No que concerne às funções Θ sabemos que o espectro de n 2 também é discreto com n 2 = l (l + 1), l = 0,1,, mas que para um m dado, deve-se ter l ≥ m. As soluções da equação em Θ são as funções associadas de Legendre Pl m (cosθ ). É conveniente normalizá-las também para terem norma 1, definindo
Θ lm (cosθ ) =

2l + 1 (l − m )! m
Pl (cosθ ).
2 (l + m )!

Lembrando que x = cosθ , dx = −senθdθ , tem-se de (87), Aula 08, π ∫ [Θ

m
l