Calculo

II.0 Limites de funções
No Ensino Secundário foi dada uma definição de limite de função recorrendo aos limites de sucessões. É costume designá-la por definição de limite segundo Heine, em homenagem ao matemático alemão Heinrich Eduard Heine (1821-1881). Recordemo-la. Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo o ponto a, podendo não estar definida no ponto a, e seja b um número real. Diz-se que o limite de f(x) quando x tende para a é b e escreve-se

lim f ( x) = b x →a

se e só se, para toda a sucessão (xn ) que tenda para a por valores diferentes de a, a sucessão (f (xn )) tende para b. Simbolicamente
(x n )

∀ [(x n ) → a ∧ x n ≠ a ]⇒ (f (x n ))→ b

Notemos que esta definição é muito geral, abrangendo também todos os casos de limites infinitos. Além do mais, a partir desta definição é fácil provar teoremas sobre o limite de uma soma, um produto, um quociente ou uma raiz. Contudo, para

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demonstrar outros resultados de que precisaremos, é mais conveniente introduzir outra definição. Definição II.0.1 (segundo Cauchy) Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo o ponto a, podendo não estar definida no ponto a. Seja b um número real. Diz-se que o limite de f(x) quando x tende para a é b , se e só se, para todo o ε > 0 podemos encontrar um número δ > 0 tal que, para todo o x do domínio de f, se x é tal que 0 < x − a < δ então f (x) − b < ε . Simbolicamente ε >0 δ > 0

∀

∃ : ∀ 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε x ∈D f

Pode-se provar (não o faremos aqui) que as duas definições são equivalentes. O matemático inglês G. H. Hardy, um apaixonado pelo criquete, o desporto nacional britânico, dizia que, para se entender bem a noção de limite, é preciso pensar numa competição entre um herói e um bandido. O herói tenta provar que lim f ( x) = b enquanto que o bandido tenta provar o contrário. O bandido escolhe x →a épsilons à sua vontade enquanto o herói tenta encontrar deltas de modo que para