Calculo

– Derivadas Parciais Limites de Funções de Duas ou Mais Variáveis
Dada uma função f = f(x,y), dizemos que o limite de f é igual a L quando (x,y) se aproxima de um ponto de referência (a,b), se pudermos tornar os valores de f(x,y) tão próximos de L conforme (x,y) se aproximar de (a,b). Nesse caso escrevemos lim f ( x, y ) = L . x →( a,b )

O conceito de limite novamente está associado ao conceito de tendência.

Perguntas Importantes: 1. De quantas formas diferentes podemos nos aproximar de um ponto no eixo real? 2. De quantas formas diferentes podemos nos aproximar de um ponto no plano? 3. Como você relaciona essas informações com o conceito de limite?

Limites de Funções de Duas Variáveis: Dificuldades de Cálculo
Para se estimar o limite de uma função de duas variáveis f no ponto (x0,y0) é necessário calcular esse valor por todas as trajetórias que passem por (x0,y0). Se em todos os casos o resultado for sempre o mesmo, digamos L, diz-se que o limite existe e que vale L. Caso o limite não exista em alguma trajetória ou dê um valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite não existe.

Exemplo Calcule o limite da função

f ( x, y ) =

xy em (0,0): x + y2
2

a) ao longo da trajetória x = 0; b) ao longo da trajetória x = y; c) ao longo da trajetória y = x2; Qual sua conclusão?

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Como se pode intuir, em geral é bastante complicado definir a existência de um limite para uma região “problemática” de uma função. Isso porque não há um raciocínio fortemente estruturado como no caso de limites de funções de uma variável. Essa dificuldade traz algumas conseqüências importantes: Como não há um meio geral de se definir o limite de uma função de duas variáveis, torna-se um tanto complicado definir se essa função é contínua; Como não há um meio geral de se definir o limite de uma função de duas variáveis, torna-se impraticável definir a existência da derivada dessa função.

Continuidade de Funções de Duas Variáveis
Uma