calculo

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul
Faculdade de Matemática

INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

PARAMETRIZAÇÃO DE UMA SUPERFÍCIE

Seja s uma porção limitada da superfície que tem equação cartesiana z = f (x,y).
Associado às equações paramétricas, podemos definir o Vetor Produto Fundamental (VPF) como o produto vetorial das derivadas parciais de :
VPF = .
Esse vetor tem a propriedade de ser normal à superfície s, pois é ortogonal aos vetores que estão no plano tangente.
Exemplo 1: Encontrar as equações paramétricas e a equação vetorial da superfície s, que tem equação cartesiana 3y + 2z = 6, com 0 < x < 1, no 1º octante.

O VPF será calculado pelo produto vetorial entre :
=.

Exemplo 2: Parametrizar a superfície de equação cartesiana z = 1 – x2 – y2 , com z > 0.

=.
Outra parametrização pode ser feita, inspirada nas coordenadas polares, usando coordenadas cilíndricas:
, que gera a equação vetorial:

O VPF nesse caso será:
=.

Há casos em que a melhor forma de parametrizar uma superfície não é usando uma projeção, mas usando coordenadas cilíndricas ou esféricas. Alguns exemplos dessas parametrizações estão a seguir:

Coordenadas Esféricas:
Parametrização da esfera: x2+y2 + z2 = a2

(u,v) Î [0,2p] x [-p/2,p/2]

Coordenadas Cilíndricas:
Parametrização do cone: x2+y2 = z2, 0 £ z £ a
, (u,v)Î[0,2p]x[0,a]

Parametrização do parabolóide: x2+y2 = z, 0 £ z £ a
,
(u,v)Î[0,2p]x[0,a1/2]

Parametrização do cilindro: x2+y2 = a2,
0 £ z £ b
, (u,v)Î[0,2p]x[0,b]

CÁLCULO DA ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE
A área da superfície s, de equação vetorial , é dada pela integral:
A = =, onde é o Vetor Produto Fundamental (VPF) e é a Integral de Superfície da função constante 1, sobre a superfície s.

Exemplo 3: A área da superfície do exemplo 1 pode ser calculada por geometria básica, pois é um retângulo. Mas também é dada por

A = = = = = = =

Exemplo 4: Para calcular