Calculo

Exerc´ıcios suplementares
Exerc´ıcio 2.1.13 Diz-se que duas normas em R n, k · kα e k · kβ, s˜ao equivalentes se existirem constantes positivas, a e b tais que akxkα ≤ kxkβ ≤ bkxkα para todo o x ∈ R
n. Prove que as seguintes normas s˜ao todas equivalentes entre si:
1. k(x1, . . . , xn)k1 = |x1| + . . . + |xn|
2. k(x1, . . . , xn)k2 = p |x1|
2 + . . . + |xn|
2
3. k(x1, . . . , xn)k∞ = m´ax{|x1|, . . . , |xn|}
Exerc´ıcio 2.1.14 Prove que as seguintes fun¸c˜oes s˜ao cont´ınuas:
1. f(x) = 1 se −∞ < x ≤ 1 e f(x) = x se x ≥ 1;
2. qualquer polin´omio em n vari´aveis.
Exerc´ıcio 2.1.15 Prove que f(x) = (
0, se x < 0,
1, se x ≥ 0, n˜ao ´e cont´ınua.
Exerc´ıcio 2.1.16 Diz-se que uma fun¸c˜ao f : J ⊂ R n → R ´e semicont´ınua inferior se para toda a sucess˜ao xk → x ∈ J se tem lim infj→+∞ f(xk) ≥ f(x) (recorde que o lim inf de uma sucess˜ao
(yk)k∈N ´e definido como sendo lim infk→+∞ yk = limn→+∞ infk>n{yk}).
24 de Janeiro de 2000 102.1. PRELIMINARES
1. Mostre que o lim inf existe sempre (eventualmente pode ser igual a −∞, quando?).
2. Mostre que qualquer fun¸c˜ao cont´ınua ´e semicont´ınua inferior.
3. Dˆe um exemplo de uma fun¸c˜ao semicont´ınua inferior que n˜ao seja cont´ınua.
4. Mostre que qualquer fun¸c˜ao semicont´ınua inferior f definida num compacto K ´e limitada inferiormente, isto ´e ∃C ∈ R tal que f(x) ≥ C sempre que x ∈ K.
5. Mostre que uma fun¸c˜ao semicont´ınua inferior definida num compacto tem sempre m´ınimo.
6. Utilizando as ideias das al´ıneas anteriores mostre que qualquer fun¸c˜ao cont´ınua definida num compacto tem m´aximo e m´ınimo.
Exerc´ıcio 2.1.17 As defini¸c˜oes de aberto e fun¸c˜ao cont´ınua dependem aparentemente de usarmos a norma euclidiana. Uma d´uvida leg´ıtima ´e saber se tivessemos usado outra norma chegar´ıamos `as mesmas conclus˜oes relativamente a que conjuntos s˜ao abertos e que fun¸c˜oes s˜ao cont´ınuas. Mostre que: 1. Todas as normas em R n s˜ao cont´ınuas.
2. Qualquer norma em R n tem um m´ınimo