calculo

ETI / EI, 1o Ano

UC: Análise Matemática II

Caderno 1 : Integrais Duplos e Integrais de Linha
(Duplos, Volumes, Mudança de Coordenadas, Integrais de Linha)

Elaborado de: Diana Aldea Mendes e Rosário Laureano
Departamento de Métodos Quantitativos

Fevereiro de 2011

Capítulo 1

Integrais Duplos
1.1

Integrais duplos - definição e interpretação

A definição de integral duplo (multiplo) é uma generalização da de integral a uma só variável. Em particular, o Teorema de Fubini, permite relacionar um integral definido em Rn (integral multiplo) com o integral em R. Nomeadamente, um integral multiplo pode ser calculado por integrações sucessivas numa variável considerando as restantes fixas (constantes). O integral duplo (multiplo) quando explicitado por intermédio de dois
(vários) integrais simples designa-se por integral iterado.
Seja f uma função de duas variáveis, z = f (x, y), que seja contínua numa certa região limitada e fechada D do xOy-plano. Tem-se D ⊂ Df ⊂ R2 . Na prática, para calcular um
RR
integral duplo D f (x, y)dxdy, temos que seguir os seguintes passos:
1. Representar graficamente o domínio de integração D
2. Estudar a regularidade do domínio de integração D e determinar a ordem de integração (dxdy ou dydx)
3. Explicitar os limites de integração e escrever o integral duplo na forma iterada
4. Calcular o integral duplo respeitando a ordem de integração
A principal dificuldade nos integrais duplos, consiste em, dado um domínio de integração D, determinar os limites de integração em cada um dos integrais simples envolvidos.
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Integrais Duplos

Definição 1.1.1 O domínio D ⊂ R2 diz-se regular segundo o eixo dos yy (no sentido do eixo dos yy) se
1. Qualquer vertical que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira em apenas dois pontos
2. D é limitado pelas curvas y = g1 (x) e y = g2 (x) e pelas rectas x = a e x = b, sendo g1 (x) ≤ g2 (x) e a ≤ b.
Se o domínio de integração D é regular no sentido do