Calculo a

CAPÍTULO 1
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NÚMEROS REAIS

Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses conjuntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais. Neste 1 2 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades.

1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto

N = {1, 2, 3, ...}.
Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por Z={0,±1,±2,±3,...}.

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Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos:
Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}.

Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln, n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por
1? = Qu Q'

A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais.

No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:

1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto. a-b=b-a. 1.1.2 Comutatividade. Se a,