Calculo ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Instituto de Matem´tica a ´
SEGUNDA PROVA DE CALCULO II
Professor: Hugo D. Fern´ndez Sare. a Turma: IQA-NTA / 2012-1.

GABARITO
Quest˜o 1.(2,5 pontos) a Determine, justificando, os pontos de continuidade e descontinuidade da fun¸˜o ca  x2 y 3
 sen

,
(x, y ) = (0, 0)
2x2 + y 2 f (x, y ) =


1
,
(x, y ) = (0, 0).

Solu¸˜o. ca Primeiro, para (x, y ) = (0, 0), a fun¸˜o f (x, y ) ´ a composi¸˜o da fun¸˜o seno (que ´ ca e ca ca e x2 y 3 cont´ ınua) com a fun¸˜o racional 2 ca onde o denominador nunca se anula (logo ´ cont´ e ınuo).
2x + y 2
Assim, f (x, y ) ´ cont´ e ınua em todo ponto (x, y ) = (0, 0).
Vejamos o caso (x, y ) = (0, 0). Como a fun¸˜o seno ´ cont´ ca e ınua, devemos estudar o limite seguinte x2 y 3
.
lim
(x,y )→(0,0) 2x2 + y 2 x2 ≤ 1. Assim
2x2 + y 2

Vejamos, note que x2 ≤ 2x2 + y 2 , logo 0 ≤ x2 y 3
2x2 + y 2

=⇒

−y 3 ≤

x2 y 3
≤ y3.
2x2 + y 2

Logo, usando o Teorema do Confronto, teremos que lim (x,y )→(0,0)

x2 y 3
2x2 + y 2

=0

=⇒

lim

(x,y )→(0,0)

sen

x2 y 3
2x2 + y 2

= sen (0) = 0 = 1 = f (0, 0).

Portanto f (x, y ) n˜o ´ cont´ ae ınua em (0, 0).
Quest˜o 2.(2,5 pontos) a Seja S a superf´ definida pela equa¸˜o ıcie ca z + 1 = xey cos(z ).
1. Calcule a equa¸˜o do plano tangente ` superficie S no ponto (1, 0, 0). ca a
2. Calcule a equa¸˜o da reta normal ` superf´ S no ponto (−π − 1, 0, π ). ca a ıcie Solu¸˜o. ca A superf´ S est´ definida pela equa¸˜o ıcie a ca F (x, y, z ) = xey cos(z ) − z − 1.

Logo, teremos que
F (x, y, z ) = (ey cos(z ), xey cos(z ), −xey sen (z ) − 1) , ∀(x, y, z ) ∈ IR3 .
1. Note que equa¸˜o ca

F (1, 0, 0) =

1, 1, −1 . Ent˜o a equa¸˜o do plano tangente ser´ dada pela a ca a ( x, y, z − 1, 0, 0 ). 1, 1, −1 = 0

isto ´ x + y − z = 1. e 2. Note que F (−π − 1, 0, π ) = −1, π + 1, −1 . Ent˜o a equa¸˜o da reta normal ser´ dada a ca a pela