calculo II

Transformações Lineares[editar | editar código-fonte]
Definição[editar | editar código-fonte]
Definição
Uma função T : V \to W, onde V e W são espaços vetoriais sobre um corpo K, é dita uma transformação linear se, para todos u, v \in V e para todo \lambda \in K, tem-se

\;T(u + v) = T(u) + T(v)
T(\lambda u) = \lambda \, T(u)
Existência de uma transformação[editar | editar código-fonte]
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a dim \; V < \infty . Seja \{v_1, v_2,...,v_n \} \; uma base de V e w_1, w_2,...,w_n \; vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear T:V \mapsto W , Tv_i=w_i, i=1,...,n.

Prova
T existe e está bem definida
Dado v \in V, \exists x=(x_1,...,x_n), x_i \in K, i=1,...,n tal que v=\sum_{i=1}^n x_iv_i. Podemos definir T em v como Tv=\sum_{i=1}^n x_iw_i. Sendo \{v_1, v_2,...,v_n \} \; uma base, tem-se a unicidade de (x_1,...,x_n) e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor v \in V ao vetor Tv \in W. Vemos através da definição que Tv=\sum_{i=1}^n x_iTv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i \Rightarrow Tv_i=w_i, i=1,...,n.
T é linear
Tome w \in V, w = \sum_{i=1}^n y_iv_i, c \in K. Assim cv+w = c\sum_{i=1}^n x_iv_i + \sum_{i=1}^n y_iv_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)v_i . Pela definição T(cv+w)=\sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i. De outro modo cTv+ Tw=c\sum_{i=1}^n x_iw_i+ \sum_{i=1}^ny_iw_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i. Portanto T(cv+w)=cTv+ Tw \;.
T é única
Suponha que exista U:V \mapsto W, Uv_i=w_i, i=1,...,n \; , então se v=\sum_{i=1}^n x_iv_i , então Uv=\sum_{i=1}^n x_iUv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i = Tv, \forall v \in V.
Imagem de uma transformação linear[editar | editar código-fonte]
A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, definida por T(x,y)=(2x+3y, 4x-3y). O valor de T em um ponto (x, y) pode ser reescrito da seguinte forma:

T(x, y) = (2x+3y,4x-3y) = x(2,4) + y(3,-3).