Calculo 1

AULA 2:

FUNÇÕES COMPOSTAS
FUNÇÕES INVERSAS

Operação Função Composta
• Dadas duas funções f e g , a função composta de g com f, denotada por g0 f, é definida por
• (g0 f) (x) = g(f(x)).
• O domínio de g0 f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f(x) está no domínio de g.

Simbolicamente
• Dm(g0 f) = {xDm(f) / f(x)  Dm(g)}.
• Em diagrama f g

x f(x) g0 f

g(f(x))

Exemplos
• Seja f ( x)  x e
Encontramos gof.

g ( x)  x .1

( go f )  g ( f ( x))  g ( x )  x  1.
Dm(f) = [0,+) e Im(f ) = [0,+).
Dm(g) = (-, ) e Im(g) = (-, ).
Im(f )  Dm(g).
Dm(g0 f) = {xDm(f) / f(x)  Dm(g)}= [0,+).

Exemplo
• Seja f ( x)  x e
Encontramos fog.

g ( x)  x  1.

( f o g )  f ( g ( x))  f ( x  1)  x  1.
Dm(f) = (0,+) e Im(f) = (0,+)
Dm(g) = (- , +) e Im(g) = (- , +)
Dm(fog) = {xDm(g) / g(x)  Dm(f)}= [1,+).
Isso porque, x-1  Dm(f) = (0,+) ou seja x-10 ou x 1.

Exemplo
Sejam as funções reais definidas por f(x)=4x+2 e g(x)=7x- 4.
As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por:
(fog)(x) = f(g(x)) = f(7x – 4) = 4(7x – 4) + 2 = 28x – 16 + 2 = 28x – 14
(gof)(x) = g(f(x)) = g(4x + 2) = 7(4x + 2) – 4 = 28x + 14 – 4 = 28x + 10
Observação: Em geral, fog é diferente de gof.

Funções Inversas
Dada uma função bijetora f:A →B, denomina-se função inversa de f à função g:B → A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1.
Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f:A →B definida por f(x)=2x e g:B → A definida por g(x)=x/2. Observe nos gráficos a seguir as situações das setas indicativas das ações das funções.

.

Obtenção da inversa:
Seja f:R → R, f(x)=x+3.
Tomando y no lugar de f(x), teremos y= x+3.
Trocando x por y e y por x, teremos x= y+3 e isolando y obteremos y=x-3.
Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Logo fog = gof.
Com o gráfico