Binômio de Newton

O Binômio de Newton, evidentemente desenvolvido pelo célebre Isaac Newton, serve para calcularmos o valor de um número binomial do tipo (a + b)n .
Quando o expoente n for 2, fica simples, apenas decorando "o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo" = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Porém quando o expoente for um número maior, fica mais complicado, do que aplicar o método da distributiva ("chuveirinho").
A fórmula que Newton criou é a seguinte:
O numero de termos da nova expressão será o expoente n + 1 .
Exemplo de utilização do binômio de Newton

Para saber rapidamente quais são os valores dos números binomiais, basta pesquisarmos o Triângulo de Pascal:

Então obtemos a expressão:
1.16x4.1 + 4.8x3.1 + 6.4x2.1 + 4.2x . 1 + 1.1.1
1.16x4.1 + 32x3.1 + 24x2.1 + 8x . 1 + 1
Caso em uma questão de vestibular seja pedido a soma dos coeficientes numérico do desenvolvimento de um binômio, não é necessário fazer todo o desenvolvimento pelo binômio de newton, basta saber a seguinte dica:
- troque qualquer letra do binômio por 1
- calcule o valor que ficará dentro dos parênteses, e pronto, basta elevá-lo à n.
No desenvolvimento que mostramos anteriormente, a soma dos coeficientes é 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1), agora utilizando a dica dada:
(2x+1)4
(2.1 + 1)4 = 34 = 81
INFOESCOLA
Exercícios Resolvidos:
1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.
Solução:

Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?
Solução:

Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos,