Binômio de Newton

BINÔMIO DE NEWTON

Piracicaba – SP
2013

Para compreender o Binômio de Newton, devemos retomar alguns assuntos:

Número Binomial (Combinação)

Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:

com n Є N, p Є N e p ≤ n
Binomial Complementar
Dois binomiais serão denominados complementares se seus denominadores forem números complementares, ou seja, p + q = n.
Exemplo:

Serão complementares, pois 11 + 6 = 17

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais , onde representa o número da linha (posição vertical) e representa o número da coluna (posição horizontal), iniciando a contagem a partir do zero.
Propriedades:
Teorema das linhas
A somatória dos elementos de cada linha vale 2n, onde n é o numerador comum de cada linha.

Relação de Stifer
A soma de dois elementos consecutivos está abaixo do elemento mais a direita.

Teorema das colunas
A soma de todos os elementos consecutivos de uma coluna resulta imediatamente abaixo e a direita da coluna somada

Teorema das diagonais
A soma de todos os elementos consecutivos de uma diagonal está imediatamente abaixo do último elemento somado.

Binômio de Newton

Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, para complementar o estudo sobre produto notável.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Denomina-se Binômio de Newton todo binômio da forma (a + b)n, sendo n um número natural.

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1 a¹ + 1 b¹
(a + b)2 = 1 a2 + 2 ab + 1 b2
(a + b)3 = 1 a3 + 3 a2b + 3 ab2 + 1 b3
(a + b)4 = 1 a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1 b4
(a + b)5 = 1 a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + 1 b5

A cada passagem, um expoente de a é diminuído e de b é aumentado

Cada termo do desenvolvimento da potência (a + b)n se associa com o desenvolvimento